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Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/17

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folglich für am Rande verschwindendes

Drückt man im dritten Integral durch aus, und setzt es dem ersten gleich, so hat man also eine Relation

für am Rande verschwindendes, sonst willkürliches , und hieraus folgt bekanntlich das Verschwinden des Integranden für beliebiges ; es gilt also identisch in die Relation:

die die relative Invarianz von und folglich die Invarianz von aussagt[1].

Um dies auf die abgeleiteten Divergenzrelationen und Abhängigkeiten anzuwenden, ist zuerst nachzuweisen, daß das aus den abgeleitete tatsächlich den Transformationsgesetzen für die Variation genügt, sobald nur die Parameter, bezw. willkürlichen Funktionen in so bestimmt werden, wie sie der ähnlichen Gruppe der infinitesimalen Transformationen in entsprechen. Bezeichnet die Transformation, die überführt in ; eine infinitesimale in so ist die dazu ähnliche in gegeben durch , wo also die Parameter, bezw. willkürlichen


  1. Diese Schlüsse versagen, wenn auch von den abhängt, da dann auch Glieder enthält, die Divergenzumformung also nicht auf die Lagrangeschen Ausdrücke führt, ebenso wenn man Ableitungen der zuläßt; dann werden nämlich die lineare Kombinationen von führen also erst nach einer weiteren Divergenzumformung auf eine Identität , sodaß rechts wieder nicht die Lagrangeschen Ausdrücke auftreten.
    Die Frage, ob aus der Invarianz von auch schon auf das Bestehen von Divergenzrelationen geschlossen werden kann, ist nach der Umkehrung gleichbedeutend damit, ob daraus auf die Invarianz von geschlossen werden kann gegenüber einer Gruppe, die nicht notwendig auf dieselben wohl aber auf dieselben führt. Im Spezialfall des einfachen Integrals und nur erster Ableitungen in kann man bei der endlichen Gruppe aus der Invarianz der Lagrangeschen Ausdrücke auf die Existenz erster Integrale schließen (vergl. z. B. Engel, Gött. Nachr. 1916, S. 270).
Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 251. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/17&oldid=- (Version vom 1.8.2018)