Zum Inhalt springen

Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/14

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

wobei es aber nötig sein kann, die willkürlichen noch von abhängig anzunehmen. hängt also tatsächlich von willkürlichen Funktionen ab; genügt es insbesondere, von frei anzunehmen, so wird diese Abhängigkeit analytisch in den willkürlichen Funktionen [1]. Treten Ableitungen auf, so kann es nötig sein, noch infinitesimale Transformation zuzufügen, ehe man dieselben Schlüsse macht.

Es sei im Anschluß an ein Liesches Beispiel (Grundlagen, § 7) noch ein ziemlich allgemeiner Fall angegeben, wo man bis zu expliziten Formeln vordringen kann, die zugleich zeigen, daß die Ableitungen der willkürlichen Funktionen bis zur -ten Ordnung auftreten; wo die Umkehrung also vollständig ist. Es sind das solche Gruppen infinitesimaler Transformationen, denen die Gruppe aller Transformationen der und dadurch „induzierter“ Transformationen der entspricht; d. h. solche Transformationen der , bei denen und folglich nur von den in auftretenden willkürlichen Funktionen abhängen; wobei noch angenommen sei, daß die Ableitungen in nicht auftreten. Man hat also:

Da die infinitesimale Transformation jede Transformation mit willkürlichem erzeugt, läßt sich insbesondere so von abhängig bestimmen, daß die eingliedrige Gruppe erzeugt wird:

(18)

die für in die Identität, für in die gesuchte übergeht. Durch Differentiation von (18) folgt nämlich:

(19)

wo sich aus durch Umkehrung von (18) bestimmt; und umgekehrt entsteht (18) aus (19) vermöge der Nebenbedingung für , durch die das Integral eindeutig festgelegt ist. Vermöge (18) lassen sich in die durch die „Integrationskonstanten“ und durch ersetzen; dabei treten die genau


  1. Die Frage, ob etwa immer dieser letztere Fall eintritt, ist in anderer Formulierung von Lie aufgeworfen worden (Grundlagen, § 7 und § 13 Schluß).
Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 248. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/14&oldid=- (Version vom 1.8.2018)