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Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/11

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Relationen (13), nur in größerer Anzahl folgen, aus denen nach der Umkehrung Invarianz von folgt gegenüber einer Gruppe, deren infinitesimale Transformationen die Parameter linear enthalten. Soll diese Gruppe genau Parameter enthalten, so müssen zwischen den ursprünglich durch die Glieder höheren Grades in erhaltenen Divergenzrelationen lineare Abhängigkeiten bestehen.

Es sei noch bemerkt, daß in dem Fall, wo und auch Ableitungen der enthalten, die endlichen Transformationen von unendlich vielen Ableitungen der abhängen können; denn die Integration von (17) führt in diesem Fall bei der Bestimmung von auf so daß die Anzahl der Ableitungen von im allgemeinen bei jedem Schritt wächst. Ein Beispiel bietet etwa:

Da die Lagrangeschen Ausdrück einer Divergenz identisch verschwinden, zeigt die Umkehrung schließlich noch das folgende: Gestattet eine , so gestattet jedes Integral, das sich von nur um ein Randintegral, d. h. ein Integral über ein Divergenz unterscheidet, ebenfalls eine mit denselben , deren infinitesimalen Transformationen im allgemeinen Ableitungen der enthalten werden. So gestattet etwa entsprechend dem obigen Beispiel: die infinitesimale Transformation , ; während in den entsprechenden infinitesimalen Transformationen Ableitungen der auftreten.

Geht man zum Variationsproblem über; d. h. setzt man [1], so geht (13) über in die Gleichungen: , die vielfach als „Erhaltungssätze“ bezeichnet werden. Im eindimensionalen Fall folgt daraus: ; und hierbei enthalten die höchstens te Ableitungen der (nach (6)), sobald und keine höheren Ableitungen als die in auftretenden -ten enthalten. Da in im allgemeinen -te


  1. oder etwas allgemeiner , wo neu hinzutretende Funktionen sind, werden in der Physik als „Feldgleichungen“ bezeichnet. Im Fall gehen die Identitäten (13) in Gleichungen: über, die in der Physik auch noch als Erhaltungssätze bezeichnet werden.
Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 245. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/11&oldid=- (Version vom 1.8.2018)