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	Wilhelm Wien: Über die Differentialgleichungen der Elektrodynamik für bewegte Körper. II

Diese Beziehung können wir heuristisch verwerten, um für den allgemeinen Fall, wo $\varphi$ von der Zeit abhängt, aus dem bekannten Lösungssystem I

${\begin{array}{ll}{\mathfrak {E}}_{x}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial z}},&{\mathfrak {H}}_{x}=-{\frac {1}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial t}}-v{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial x}}\right),\\\\{\mathfrak {E}}_{y}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial z}},&{\mathfrak {H}}_{y}={\frac {1}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial t}}-v{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\right),\\\\{\mathfrak {E}}_{z}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}},&{\mathfrak {H}}_{z}=0\end{array}}$

dasjenige zu ermitteln, bei dem die Mitwirkung eines Magneten fehlt. Wir müssen zunächst das entsprechende, mit dem Faktor $v/c$ versehene System für den magnetischen Dipol aufstellen. Dieses lautet:

${\begin{cases}{\begin{array}{ll}{\mathfrak {E}}_{x}={\frac {v}{c^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z\ \partial t}}-v{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z\ \partial x}}\right),&{\mathfrak {H}}_{x}={\frac {v}{c}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial y}},\\\\{\mathfrak {E}}_{y}=0,&{\mathfrak {H}}_{y}=-\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right){\frac {v}{c}},\\\\{\mathfrak {E}}_{z}=-{\frac {v}{c^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial t}}-v{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\right),&{\mathfrak {H}}_{z}={\frac {v}{c}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z\ \partial y}}.\end{array}}\end{cases}}$

Die Subtraktion beider Gleichungssysteme muß dann das gesuchte liefern und wir erhalten somit

${\begin{array}{ll}{\mathfrak {E}}_{x}=-\varkappa ^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial z}}-{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z\ \partial t}},&{\mathfrak {H}}_{x}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial t}},\\\\{\mathfrak {E}}_{y}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial z}},&{\mathfrak {H}}_{y}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial t}}+{\frac {v}{c}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}},\\\\{\mathfrak {E}}_{z}=\varkappa ^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial t}},&{\mathfrak {H}}_{z}=-{\frac {v}{c}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z\ \partial y}}.\end{array}}$

Dieses System leistet nun in der Tat alles verlangte. Es geht für $v=0$ in das Hertzsche Lösungssystem für einen schwingenden Dipol, für $\partial \varphi /\partial t=0$ in das System über, das man aus der Heavisideschen Lösung einer bewegten Ladung für einen transversal bewegten elektrischen Dipol erhält.

Wir können diese Lösung benutzen, um die Strahlung eines transversal schwingenden Dipols zu berechnen.

Setzen wir wieder

$\varphi ={\frac {A}{r}}\cos {\frac {b}{\varkappa }}\left(\varkappa ^{2}ct-{\frac {v}{c}}x-r\right),$ $r^{2}=x^{2}+(y^{2}+z^{2})\varkappa ^{2},\ \varkappa ^{2}=1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}},\ \alpha ={\frac {b}{\varkappa }}\left(\varkappa ^{2}ct-{\frac {v}{c}}x-r\right),$

Empfohlene Zitierweise:
Wilhelm Wien: Über die Differentialgleichungen der Elektrodynamik für bewegte Körper. II. Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1904, Seite 665. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Differentialgleichungen_II_(Wien).djvu/3&oldid=- (Version vom 31.7.2018)