,
, … ist. Dann folgt, wie auf S. 72, daß die
Zahlen
, …,
die verlangte Beschaffenheit haben.
Die Zahlen
, …,
heißen eine Basis des Ideals
. Jede andere Basis
, …,
des Ideals
ist durch Formeln von der Gestalt
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gegeben, wo die Determinante der ganzzahligen Koeffizienten
gleich
ist.
Sind
, …,
irgend
solche Zahlen des Ideals
, durch deren lineare
Kombination unter Benutzung ganzer algebraischer Koeffizienten
des Körpers alle Zahlen des Ideals erhalten werden können, so schreibe ich kurz
|
.
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Wenn
und
zwei Ideale sind, so werde dasjenige Ideal, welches entsteht, wenn man alle Zahlen
und
zusammen nimmt, kurz mit
bezeichnet, d. h. ich schreibe
|
.
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Ein Ideal, welches alle und nur die Zahlen von der Gestalt
enthält, wo
jede beliebige ganze Zahl des Körpers darstellt und
eine bestimmte
ganze Zahl des Körpers bedeutet, heißt ein Hauptideal und wird mit
oder
auch kurz mit
bezeichnet, falls eine Verwechselung mit der Zahl
ausgeschlossen erscheint.
Eine jede Zahl
des Ideals
heißt kongruent
nach dem
Ideal
oder in Zeichen:
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.
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Wenn die Differenz zweier Zahlen
und
kongruent
nach
ist, so heißen
und
einander kongruent nach
oder in Zeichen
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;
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sonst heißen sie einander inkongruent oder in Zeichen
|
.
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Wenn man jede Zahl eines Ideals
mit jeder Zahl eines
zweiten Ideals
multipliziert und die so erhaltenen Zahlen
linear mittels beliebiger ganzer algebraischer Koeffizienten des Körpers kombiniert, so wird das so entstehende neue Ideal das Produkt der beiden Ideale
und
genannt, d. h. in Zeichen
|
.
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Ein Ideal
heißt durch das Ideal
teilbar, wenn ein Ideal
existiert derart,
daß
ist. Ist ein Ideal
durch das Ideal
teilbar, so sind alle Zahlen