Um den quadratischen Restcharakter von
zu berechnen, betrachte ich zunächst den durch
bestimmten Körper
, wo
eine Primzahl und
nach
ist. Da in diesem Körper nur ein Geschlecht vorhanden sein darf und, wie oben gezeigt, der Charakter
ist, so folgt, daß die Norm eines jeden Ideals ebenfalls den Charakter
haben muß. Da nach § 2 die Zahl
in zwei ldeale des Körpers
zerlegbar ist und folglich die Partialnorm eines Ideals ist, so folgt
. Ist
, so wird
nach
sein und mithin haben wir auch in diesem Falle
.
Es sei jetzt
eine Primzahl und
nach
. Nehmen wir nun
an, so ist
in dem durch
bestimmten Körper zerlegbar und da in diesem Körper nur ein Geschlecht existiert und
den Charakter
besitzt, so ergibt sich auch
, d. h.
. Beide Resultate zusammengenommen bestimmen den quadratischen Restcharakter von
in bezug auf
für
, und zwar gilt unter dieser Voraussetzung die Formel
|
.
|
Es sei endlich
eine Primzahl und
nach
. In dem durch
bestimmten Körper sind, wie man leicht ausrechnet, die Charaktere der Zahl
beide
und es existiert folglich nur ein Geschlecht. Wenn daher
die Partialnorm eines Ideals ist, so müssen die beiden Charaktere der Zahl
, nämlich die Symbole
und
entweder beide positiv oder beide negativ sein. Hieraus ergibt sich, falls wir
nehmen, die Formel:
|
.
|
Die beiden soeben gewonnenen Formeln lassen sich in eine zusammenfassen und wir erhalten somit den Satz:
Wenn
eine Primzahl und
nach
ist, so bestimmt sich der quadratische Restcharakter der Zahl
in bezug auf
durch die Formel:
|
.
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Um endlich das Reziprozitätsgesetz für 2 beliebige von
verschiedene Primzahlen abzuleiten, berücksichtigen wir den Umstand, daß von den beiden ganzen imaginären Zahlen
und
stets die eine
nach
ist.