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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Um den quadratischen Restcharakter von $1+i$ zu berechnen, betrachte ich zunächst den durch ${\sqrt {\varkappa }}$ bestimmten Körper $K_{\varkappa }$, wo $\varkappa$ eine Primzahl und $\equiv (000)$ nach $(1+i)^{5}$ ist. Da in diesem Körper nur ein Geschlecht vorhanden sein darf und, wie oben gezeigt, der Charakter $\textstyle \left[{\frac {i}{\varkappa :\varkappa }}\right]=+1$ ist, so folgt, daß die Norm eines jeden Ideals ebenfalls den Charakter $+1$ haben muß. Da nach § 2 die Zahl $1+i$ in zwei ldeale des Körpers $K_{\varkappa }$ zerlegbar ist und folglich die Partialnorm eines Ideals ist, so folgt $\textstyle \left[{\frac {1+i}{\varkappa :\varkappa }}\right]=\textstyle \left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=+1$. Ist $\varkappa \equiv (100)$, so wird $i\varkappa \equiv (000)$ nach $(1+i)^{5}$ sein und mithin haben wir auch in diesem Falle $\textstyle \left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=+1$.

Es sei jetzt $\varkappa$ eine Primzahl und $\equiv (t_{\varkappa }0t''_{\varkappa })$ nach $(1+i)^{5}$. Nehmen wir nun $\textstyle \left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=+1$ an, so ist $\varkappa$ in dem durch ${\sqrt {1+i}}$ bestimmten Körper zerlegbar und da in diesem Körper nur ein Geschlecht existiert und $i$ den Charakter $+1$ besitzt, so ergibt sich auch $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{1+i:1+i}}\right]=(-1)^{t''_{\varkappa }}=+1$, d. h. $t''_{\varkappa }=0$. Beide Resultate zusammengenommen bestimmen den quadratischen Restcharakter von $1+i$ in bezug auf $\varkappa$ für $t'_{\varkappa }=0$, und zwar gilt unter dieser Voraussetzung die Formel

$\left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=(-1)^{t''_{\varkappa }}$.

Es sei endlich $\varkappa$ eine Primzahl und $\equiv (t_{\varkappa }1t''_{\varkappa })$ nach $(1+i)^{5}$. In dem durch ${\sqrt {(1+i)\varkappa }}$ bestimmten Körper sind, wie man leicht ausrechnet, die Charaktere der Zahl $i$ beide $=-1$ und es existiert folglich nur ein Geschlecht. Wenn daher $\nu$ die Partialnorm eines Ideals ist, so müssen die beiden Charaktere der Zahl $\nu$, nämlich die Symbole $\textstyle \left[{\frac {\nu }{\varkappa :(1+i)\varkappa }}\right]$ und $\textstyle \left[{\frac {\nu }{1+i:(1+i)\varkappa }}\right]$ entweder beide positiv oder beide negativ sein. Hieraus ergibt sich, falls wir $\nu =\varkappa$ nehmen, die Formel:

$\left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=(-1)^{1+t''_{\varkappa }}$.

Die beiden soeben gewonnenen Formeln lassen sich in eine zusammenfassen und wir erhalten somit den Satz:

Wenn $\varkappa$ eine Primzahl und $\equiv (t_{\varkappa }t'_{\varkappa }t''_{\varkappa })$ nach $(1+i)^{5}$ ist, so bestimmt sich der quadratische Restcharakter der Zahl $1+i$ in bezug auf $\varkappa$ durch die Formel:

$\left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=(-1)^{t'_{\varkappa }+t''_{\varkappa }}$.

Um endlich das Reziprozitätsgesetz für 2 beliebige von $1+i$ verschiedene Primzahlen abzuleiten, berücksichtigen wir den Umstand, daß von den beiden ganzen imaginären Zahlen $\alpha$ und $i\alpha$ stets die eine $\equiv (0t_{\alpha })$ nach $(1+i)^{4}$ ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 44. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/61&oldid=- (Version vom 31.7.2018)