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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Hälfte aus ambigen Idealen, je nachdem die Partialnorm der Grundeinheit gleich $\pm i$ oder gleich $\pm 1$ ausfällt. Kommt jedoch im Charakterensystem von $i$ eine negative Einheit vor, so ist die Norm der Grundeinheit notwendig gleich $\pm 1$; nach den Sätzen 2 und 3 dieses Paragraphen gibt es dann nur $2^{s-2}$ ambige Klassen und diese entspringen sämtlich aus ambigen Idealen. Setzen wir nun $c=s$ oder $=s-1$, je nachdem das Charakterensystem von $i$ aus lauter positiven Einheiten besteht oder nicht, so bedeutet $c$ nach den Darlegungen des § 3 die Anzahl der Einzelcharaktere, welche das Geschlecht einer Idealklasse bestimmen und wir erhalten den Satz:

Satz 5. Es gibt genau $c-1$ voneinander unabhängige ambige Klassen, wo $c$ die Anzahl der Einzelcharaktere bedeutet, welche das Geschlecht einer Klasse bestimmen. Die Anzahl der sämtlichen voneinander verschiedenen ambigen Idealklassen ist demgemäß $=2^{c-1}$.

Dieser allgemeine Satz gilt auch, wie man leicht erkennt, für den besonderen durch ${\sqrt {i}}$ bestimmten Dirichletschen Körper, welcher oben von der Betrachtung ausgeschlossen wurde.

§ 7. Die Anzahl der existierenden Geschlechter.

Die in § 4, 5 und 6 gewonnenen Resultate setzen uns in den Stand, die Anzahl der in einem Dirichletschen Zahlkörper $K$ vorhandenen Geschlechter zu berechnen. Da das Charakterensystem einer Idealklasse des Körpers $K$ aus $c$ Einzelcharakteren besteht, deren jeder den Wert $+1$ oder $-1$ annehmen kann, so sind im ganzen $2^{c}$ Charakterensysteme möglich und es entsteht die wichtige Frage, ob für jedes dieser $2^{c}$ möglichen Charakterensysteme ein Geschlecht existiert oder ob nur ein Teil dieser Charakterensysteme unter den Geschlechtern wirklich vertreten ist. Um über diese Frage Auskunft zu erhalten, bezeichnen wir die Anzahl der voneinander verschiedenen existierenden Geschlechter mit $g$ und die Anzahl der Klassen des Hauptgeschlechtes mit $f$. Da offenbar auch jedes andere Geschlecht $f$ Klassen enthalten muß, so ist die Anzahl sämtlicher Klassen des Körpers $=gf$.

Bezeichnen wir nun die Klassen des Hauptgeschlechts mit $H_{1}$, …, $H_{f}$, so können wir nach dem in § 4 bewiesenen Satze $H_{1}=Q_{1}^{2}$, …, $H_{f}=Q_{f}^{2}$ setzen, wo $Q_{1}$, …, $Q_{f}$ gewisse Klassen des Körpers bedeuten. Es sei jetzt $C$ eine beliebige Klasse des Körpers $K$; da dann $C^{2}$ offenbar zum Hauptgeschlecht gehört, so ist $C^{2}=Q_{r}^{2}$, wo $Q_{r}$ eine der eben bestimmten Klassen $Q_{1}$, …, $Q_{f}$ bedeutet. Es ist folglich $\textstyle {\frac {C}{Q_{r}}}$ eine ambige ldealklasse $A$, d. h. es wird $C=AQ_{r}$. Da nach Satz 5 in § 6 die Anzahl der ambigen Klassen $2^{c-1}$ beträgt, so stellt der Ausdruck $AQ$ genau $2^{c-1}f$ ldealklassen dar. Diese sind auch sämtlich voneinander verschieden. Denn wäre $AQ_{r}=A'Q_{r'}$, wo $A'$ eine ambige Klasse und $Q_{r'}$ eine der vorhin bestimmten Klassen $Q_{1}$, …, $Q_{f}$ bedeutet, so würde

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 42. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/59&oldid=- (Version vom 31.7.2018)