Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/540

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

so daß $g$ ein ganzer Exponent ist und $e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{g}$ gewisse Werte Null oder Eins werden. Nun deﬁnieren wir $g+1$ Zahlen $n_{0},n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{g}$ durch folgende Gleichungen

{\begin{aligned}n_{0}&=1,\\n_{1}&=2+e_{1}\\&=1e_{1},\\n_{2}&=2^{2}+e_{1}2+e_{2}\\&=1e_{1}e_{2},\\n_{3}&=2^{3}+e_{1}2^{2}+e_{2}2+e_{3}\\&=1e_{1}e_{2}e_{3},\\&\vdots \\n_{g}&=2^{g}+e_{1}2^{g-1}+\cdots +e_{g-1}2+e_{g}\\&=1e_{1}e_{2}\cdots e_{g-1}e_{g}=n,\end{aligned}}

so daß allgemein

n_{h+1}=2n_{h}+e_{h+1}

wird. Ferner setzen wir

{\begin{aligned}p_{0}&=e_{1}2^{g-1}+e_{2}2^{g-2}+\cdots +e_{g}\\&=e_{1}e_{2}\cdots e_{g},\\p_{1}&=e_{2}2^{g-2}+e_{3}2^{g-3}+\cdots +e_{g}\\&=e_{2}e_{3}\cdots e_{g},\\p_{2}&=e_{3}2^{g-3}+\cdots +e_{g}\\&=e_{3}\cdots e_{g},\\&\vdots \\p_{g-1}&=e_{g},\\p_{g}&=0,\end{aligned}}

so daß allgemein

p_{h-1}-p_{h}=e_{h}2^{g-h}

wird. Endlich sei noch

{\begin{aligned}p&=n-2^{g}=e_{1}2^{g-1}+e_{2}2^{g-2}+\cdots +e_{g}=p_{0},\\q&=2^{g},\end{aligned}}

so daß die Bedingungen (28), (29) erfüllt sind.

Nunmehr wenden wir die Hilfssätze 3 bzw. 4 im ganzen g-mal an und gelangen so zu den Gleichungen

\left.{\begin{aligned}x^{p_{0}}(Kx^{2^{g}}+Y)&={\frac {1}{K'^{e_{1}}}}\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N_{1}}r_{h}^{(1)}x^{p_{1}}(K'x^{2^{g-1}}+Y_{h}^{\prime (1)})^{n_{1}},\\x^{p_{1}}(K_{1}x^{2^{g-1}}+Y_{1})^{n_{1}}&={\frac {1}{K_{1}'^{e_{2}}}}\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N_{2}}r_{h}^{(2)}x^{p_{2}}(K_{1}'x^{2^{g-2}}+Y_{h}^{\prime (2)})^{n_{2}},\\&\vdots \\x^{p_{g-2}}(K_{g-2}x^{2^{2}}+Y_{g-2})^{n_{g-2}}&={\frac {1}{K_{g-2}^{\prime e_{g-1}}}}\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N_{g-1}}r_{h}^{(g-1)}x^{p_{g-1}}(K'_{g-2}x^{2}+Y_{h}^{\prime (g-1)})^{n_{g-1}},\\x^{p_{g-1}}(K_{g-1}x^{2}+Y_{g-1})^{n_{g-1}}&={\frac {1}{K_{g-1}^{\prime e_{g}}}}\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N_{g}}r_{h}^{(g)}(K'_{g-1}x+Y_{h}^{\prime (g)})^{n}.\end{aligned}}\right\}

(30)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 523. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/540&oldid=- (Version vom 17.1.2018)