Aus der soeben erkannten Tatsache, daß der Ausdruck (24) außer der Zahl
niemals eine primäre Zahl darstellen kann, ziehen wir leicht durch ein ähnliches Schlußverfahren, wie wir es früher angewandt haben, diese Folgerung: wenn
eine beliebige zu
prime ganze Zahl in
ist, so läßt sich stets ein System von Exponenten
finden, derart, daß der Ausdruck
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(25)
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eine primäre Zahl in
darstellt.
Es sei nun
irgendein Primideal der Hauptklasse in
; wir setzen
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet und nehmen entgegen der zu beweisenden Behauptung an, es sei
in
unzerlegbar. Wir bilden für die Zahl
den Ausdruck (25) und bezeichnen denselben mit
. Endlich bestimmen wir in
ein von
verschiedenes Primideal
, welches in
nicht Hauptideal ist, und eine Zahl
in
so daß
wird; wir setzen
oder
, je nachdem
den Faktor
enthält oder nicht.
Da nach Satz 9b der Körper
eine ungerade Klassenanzahl besitzt, so gilt mit Rücksicht darauf, daß
primär ist, nach dem in meiner Abhandlung für diesen Fall bewiesenen quadratischen Reziprozitätsgesetz die Formel
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(26)
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hierbei habe die geschwungene Klammer für den Körper
die entsprechende Bedeutung des quadratischen Restcharakters, wie die gewöhnliche Klammer für den Körper
. Das Hauptideal
im Körper
ist entweder gleich
oder gleich dem Primideal
. Fällt nun
aus, so ist gewiß auch
. Ist
, so wird wegen
notwendig
und um so mehr
. Andererseits ist wegen
notwendig
und folglich auch
. Wir haben also in jedem Falle gewiß
und wegen (26) folgt hieraus
.
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(27)
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Wenn
irgendeine ganze zu
prime Zahl in
bedeutet, so gelten nach dem Primideal
des Körpers
, das auch in
Primideal bleiben