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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/516

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die Gültigkeit der Hilfssätze 1 bis 4, und entsprechend dem Hilfssatz 4 ist mithin jedes Primideal des Körpers , für welches

ausfällt, stets notwendig ein Hauptideal des Körpers .

Wir bezeichnen nun kurz mit alle diejenigen Primideale in , für welche

ist, und mit diejenigen Primideale in für welche zugleich

und

ausfällt, ferner mit diejenigen Primideale des Körpers , welche Hauptideale in sind, dagegen mit diejenigen Primideale des Körpers , welche nicht Hauptideale in sind.

Da die Zahlen sicher nicht Quadrate von ganzen Zahlen in sind und bei unseren Annahmen wegen der Verschiedenheit der Primideale das Nämliche auch für das Produkt gilt, so folgen aus Satz 17 meiner Abhandlung die Gleichungen

(19)

hier sind die unendlichen Summen über alle Primideale bez. zu erstrecken und bedeuten Funktionen der reellen Veränderlichen , welche stets zwischen endlichen Grenzen bleiben, wenn sich dem Werte nähert; bezeichnet stets die Norm im Körper .

Die Primideele sind offenbar sämtlich von den Primidealen verschieden und da nach dem vorhin Bewiesenen die Primideale sämtlich unter den Primidealen vorkommen, so haben wir

und folglich wegen (19)

; (20)

hier sind die unendlichen Summen wiederum über alle Primideale mit den betreffenden Eigenschaften zu erstrecken.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 499. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/516&oldid=- (Version vom 31.7.2018)