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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/511

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Was das Verhalten der Ideale des Körpers im Körper betrifft, so sind hier die folgenden zwei Fälle möglich:

I. Die Ideale des Körpers , welche in nicht Hauptideale sind, werden in Hauptideale.

II. Die Ideale des Körpers , welche in nicht Hauptideale sind, werden auch in nicht Hauptideale.

Indem wir das Verfahren, welches ich in meiner Abhandlung beim Beweise des Satzes 22 angewendet habe, auf den Körper übertragen, finden wir leicht im Falle I die Gleichung

(5)

und im Falle II die Gleichung

(6)


§ 10.

Wir wollen ferner für die Zahl eine obere von und abhängige Grenze ableiten. Zu dem Zweck mögen irgendwelche Exponenten bedeuten; soll dann die Einheit

die Relativnorm einer Einheit in sein, so müssen notwendig die Bedingungen

(7)

erfüllt sein.

Wir stellen nun der Reihe nach folgende Hilfssätze auf, welche für beide Fälle I, II gelten:

Hilfssatz 1 Jede Einheit des Körpers , die den Bedingungen (7) genügt, ist notwendig die Relativnorm einer Einheit des Relativkörpers .

Zum Beweise dieses Hilfssatzes unterscheiden wir, ob unter den Indizes die Zahl vorkommt oder nicht. Im ersteren Falle sei . Wir schließen dann aus (7) mit Rücksicht auf (1), daß gewiß die Gleichungen

bestehen müssen, und hieraus entnehmen wir, das die Anzahl der voneinander unabhängigen Einheitenverbände welche aus den Relativnormen von Einheiten in entspringen, höchstens gleich ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 494. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/511&oldid=- (Version vom 31.7.2018)