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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/506

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in jedem anderen Falle dagegen

.

Fällt gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in aus, so werde stets

gesetzt. Ferner definieren wir noch die Symbole

;

wir setzen stets

,

wenn wenigstens eine der beiden Zahlen positiv ausfällt; dagegen setzen wir

,

wenn jede der beiden Zahlen negativ ausfällt. Ferner bezeichnen wir allgemein die in gelegenen zu konjugierten Zahlen bez. mit und setzen


.

Ist nun ein bestimmter relativquadratischer Körper in bezug auf vorgelegt, so wird eine naturgemäße Definition des Geschlechtsbegriffes aus der Definition 12 meiner Abhandlung gewonnen, wenn man sich des verallgemeinerten Symbols bedient, wo die in der Relativdiskriminante von aufgehenden Primideale und überdies diejenigen Zeichen durchläuft, wofür die in gelegene zu konjugierte Zahl negativ ausfällt. Es gelingt dann ohne erhebliche Schwierigkeit die ganze in meiner Abhandlung entwickelte Theorie der relativquadratischen Körper auf den hier in Rede stehenden Fall, daß der Körper die in § 4 gemachten Annahmen erfüllt, auszudehnen.

Das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste im Körper erhält mit Benutzung des erweiterten Symbols die folgende einfache Fassung:

Satz 7. Wenn beliebige ganze Zahlen in sind, so ist stets

,

wo das Produkt über sämtliche Primideale in und über die Zeichen erstreckt werden soll.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 489. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/506&oldid=- (Version vom 31.7.2018)