in jedem anderen Falle dagegen
.
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Fällt
gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl
in
aus, so werde stets
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gesetzt. Ferner definieren wir noch die
Symbole
;
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wir setzen stets
,
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wenn wenigstens eine der beiden Zahlen
positiv ausfällt; dagegen setzen wir
,
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wenn jede der beiden Zahlen
negativ ausfällt. Ferner bezeichnen wir allgemein die in
gelegenen zu
konjugierten Zahlen bez. mit
und setzen
.
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Ist nun ein bestimmter relativquadratischer Körper
in bezug auf
vorgelegt, so wird eine naturgemäße Definition des Geschlechtsbegriffes aus der Definition 12 meiner Abhandlung gewonnen, wenn man sich des verallgemeinerten Symbols
bedient, wo
die in der Relativdiskriminante von
aufgehenden Primideale und überdies diejenigen Zeichen
durchläuft, wofür die in
gelegene zu
konjugierte Zahl
negativ ausfällt. Es gelingt dann ohne erhebliche Schwierigkeit die ganze in meiner Abhandlung entwickelte Theorie der relativquadratischen Körper auf den hier in Rede stehenden Fall, daß der Körper
die in § 4 gemachten Annahmen erfüllt, auszudehnen.
Das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste im Körper
erhält mit Benutzung des erweiterten Symbols
die folgende einfache Fassung:
Satz 7. Wenn
beliebige ganze Zahlen
in
sind, so ist stets
,
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wo das Produkt über sämtliche Primideale
in
und über die
Zeichen
erstreckt werden soll.