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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/503

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Wir zerlegen nun die Zahl im Körper in Primideale wie folgt:

,

wo , , …, die voneinander verschiedenen Primfaktoten der Zahl in und , , …, die Potenzexponenten bedeuten, zu denen bez. jene Primideale in der Zahl aufgehen.

Definition 3. Ein solches zu primes Ideal des Körpers , in bezug auf das nicht nur für jede Einheit in , sondern auch für jede in aufgehende ganze Zahl des Körpers

ausfällt, heilße ein hyperprimäres Ideal.

Definition 4. Eine solche zu prime Zahl des Körpers , welche kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul ausfällt, heiße eine hyperprimäre Zahl des Körpers

Wir können dann den wesentlichen Inhalt des zweiten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz wie folgt aussprechen:

Satz 2. Wenn ein hyperprimäres Ideal in ist, so gibt es stets eine hyperprimäre Zahl , so daß wird, und umgekehrt: wenn eine hyperprimäre Zahl in ist, so ist das Ideal stets ein hyperprimäres Ideal.

Der wesentliche Inhalt des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper lautet wie folgt:

Satz 3. Wenn , , , irgendwelche zu zwei prime ganze Zahlen in sind derart, daß die beiden Produkte und primär ausfallen und zu , zu prim ist, so ist stets

Wenn die Klassenanzahl des Körpers nicht gleich , sondern eine beliebige ungerade Zahl ist, so wird nur eine geringfügige und aus meiner Abhandlung leicht zu entnehmende Abänderung im Ausdrucke der Sätze 1 bis 3 notwendig.

Satz 4. Jede Einheit in , welche primär (eine primäre Zahl) ist, ist das Quadrat einer Einheit in .

Satz 5. Es gibt in bezug auf keinen relativquadratischen unverzweigten Körper.

Die beiden letzten Sätze gelten unverändert für den Fall, daß die Klassenanzahl des Körpers eine beliebige ungerade Zahl ist.

§ 4.

Wir legen nunmehr für den Körper folgende Annahmen zugrunde:

1. Unter den konjugierten Körpern , , , …, gebe es eine beliebige Anzahl reeller Körper; seien dies die Körper , , , …,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 486. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/503&oldid=- (Version vom 31.7.2018)