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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/46

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definiert. Ist ferner die Partialnorm einer beliebigen Zahl in , so möge

sein. Der zu Anfang dieses Paragraphen bewiesene Satz zeigt, daß diese letztere Festsetzung mit der erst getroffenen Definition vereinbar ist.

Ferner benutzen wir die Tatsache, daß eine jede Zahl in gleich dem Produkt zweier Zahlen und gesetzt werden kann, wo eine ganze nicht durch teilbare Zahl in oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner nicht durch teilbar sind, und wo die Partialnorm einer Zahl in ist. Um diese Tatsache zu beweisen, ist es offenbar nur nötig, jene Zerlegung für die Primzahl auszuführen. Zu dem Zweck wählen wir in eine durch , aber nicht durch teilbare Zahl , setzen und berücksichtigen dann, daß in die Gestalt eines Bruches gebracht werden kann, dessen Zähler gleich ist und dessen Nenner eine nicht durch teilbare Zahl ist. Es folgt somit die gewünschte Zerlegung .

Ist die beliebige Zahl auf die beschriebene Weise zerlegt, so definieren wir das allgemeine Symbol durch die Gleichung

und erkennen ohne Schwierigkeit, daß dieses Symbol dadurch eindeutig bestimmt ist und die Eigenschaft

besitzt, wo , beliebige Zahlen des Körpers sind.

In den Fällen, in welchen in aufgeht, bedarf es einer genaueren Untersuchung über das Verhalten der Partialnormen und ihrer Reste nach den Potenzen von . Um eine übersichtliche Darstellung der in Betracht kommenden Restsysteme zu erhalten, setzen wir

,

und zeigen dann durch eine leichte Rechnung, daß, wenn , , die Werte oder annehmen, in der Form sämtliche 8 zu primen Reste nach und in der Form sämtliche 16 zu primen Reste nach enthalten sind. Wir bezeichnen der Kürze halber die beiden genannten Ausdrücke mit () bezüglich ().

Da im Falle nach die Partialdiskriminante nicht durch teilbar ist, so untersuchen wir lediglich die 7 Fälle , , nach und , , , nach . Die Rechnung zeigt, daß nur diejenigen zu primen Reste von unter den Partialnormen der Zahlen des Körpers vertreten sind,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 29. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/46&oldid=- (Version vom 31.7.2018)