eine Relation von der Gestalt
,
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(141)
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so daß die Exponenten
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Zahlen sind und
eine geeignete Einheit in
vorstellt; dann müßte für
stets
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ausfallen, und wenn wir berücksichtigen, daß die Einheiten
sämtlich Relativnormen von Zahlen in
sind und daher stets
für
und
sein muß, so ergibt sich auch
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für
. Wegen der Formeln (140) für die Einheiten
, ist dies nur möglich, wenn die Exponenten
, sämtlich durch
teilbar sind, und die Relation (141) würde somit die Gestalt
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annehmen, wo
wiederum eine Einheit in
bedeutet. Das Bestehen einer solchen Relation ist aber, da
die Basis einer Einheitenschar in
bilden, nur möglich, falls die Exponenten
sämtlich durch
teilbar sind. Daraus folgt, daß eine Relation von der Gestalt (141), wie wir sie annahmen, nicht statthaben kann, d. h. die Einheiten
bilden eine Basis einer Einheitenschar; es ist der Grad dieser Einheitenschar
, und da der Grad einer Einheitenschar höchstens
sein kann, so haben wir
; hiermit deckt sich die Aussage des Hilfssatzes 33. Da
ist, so folgt insbesondere, daß stets
, also
ausfällt.
§ 152. Die Komplexe des regulären Kummerschen Körpers.
Es sei
die Anzahl der Idealklassen des regulären Kreiskörpers
: dann gibt es in dem Kummerschen Körper
genau
voneinander verschiedene Idealklassen, welche unter ihren Idealen Ideale des Kreiskörpers
enthalten. In der Tat, jede Klasse in
liefert offenbar eine Klasse in
von der fraglichen Art; würden nun zwei verschiedene Klassen
in
Ideale enthalten, die in
einander äquivalent sind, so würde ein Ideal
in
aus der Klasse
stets zu einem Hauptideal im Körper
werden müssen.