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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

die Klasse $L_{t-1}$ sich als Produkt von Potenzen der Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-2}$ und einer solchen Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält.

Wir beweisen jetzt, daß aus den Idealklassen $L_{1}$, …, $L_{t-2}$ keine Klasse

$c''=L_{1}^{a''_{1}}\cdots L_{t-2}^{a''_{t-2}}$

(130)

hervorgehen kann, welche Ideale in $k(\zeta )$ enthält, während die Exponenten $a''_{1}$, …, $a''_{t-2}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Zahlen sind. In der Tat, eine Relation (130) hätte eine Gleichung von der Gestalt

${\mathsf {M}}''={\mathfrak {L}}_{1}^{a''_{1}}\cdots {\mathfrak {L}}_{t-2}^{a''_{t-2}}{\mathfrak {j}}''$

(131)

zur Folge von der Art, daß ${\mathsf {M}}''$ eine ganze Zahl in $K$ und ${\mathfrak {j}}''$ ein Ideal in $k(\zeta )$ ist; hieraus schließen wir dann, daß ${\mathsf {E}}'={\mathsf {M}}''^{1-S}$ eine Einheit in $K$ sein müßte. Wir wenden für diese Einheit ${\mathsf {E}}'$ den Hilfssatz 31 an und erhalten so eine Gleichung

${\mathsf {E}}'^{f'}={\mathsf {H}}_{1}^{F'_{1}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{F'_{\frac {l-1}{2}}(S)}\varepsilon$,

(132)

wo $f'$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl,

$F'_{1}(S),\ldots ,F'_{\frac {l-1}{2}}(S)$

ganzzahlige Funktionen von $S$ sind und $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ ist. Wir bestimmen nun einen ganzen rationalen Exponenten $u$ in der Weise, daß die ganze Zahl $F'_{\frac {l-l}{2}}(1)+ue_{\frac {l-1}{2}}$ durch $l$ teilbar wird; mit Rücksicht auf $N_{k}({\mathsf {E}}')=1$ erhalten wir aus (132) durch Bildung der Relativnorm in bezug auf $k(\zeta )$ die Gleichung:

$1=\eta _{1}^{F'_{1}(1)+ue_{1}}\cdots \eta _{\frac {l-3}{2}}^{F'_{\frac {l-3}{2}}(1)+ue_{\frac {l-3}{2}}}\varepsilon '^{l}$,

(133)

wo $\varepsilon '$ wiederum eine Einheit in $k(\zeta )$ ist. Da die Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-3}{2}}$ eine Basis einer Einheitenschar sind, so folgt aus (133), daß die Exponenten $F'_{1}(1)+ue_{1}$, …, $F'_{\frac {l-3}{2}}(1)+ue_{\frac {l-3}{2}}$ sämtlich durch $l$, d. h. die Zahlen $F'_{1}(\zeta )+ue_{1}$, …, $F'_{\frac {l-3}{2}}(\zeta )+ue_{\frac {l-3}{2}}$ sämtlich durch $1-\zeta$ teilbar sein müssen. Setzen wir

$F'_{1}(\zeta )+ue_{1}=(1-\zeta )F_{1}^{'*}(\zeta ),\ldots ,F'_{\frac {l-1}{2}}(\zeta )+ue_{\frac {l-1}{2}}=(1-\zeta ){F_{\frac {l-1}{2}}^{'*}}(\zeta )$

und

${\mathsf {H}}'={\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}^{'*}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{F_{\frac {l-1}{2}}^{'*}}$,

so folgt aus (132)

${\mathsf {E}}'^{f'}{\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}'^{1-S}\varepsilon '^{*}$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 298. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/315&oldid=- (Version vom 19.2.2017)