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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/310

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wo ein ganzer rationaler, nicht durch teilbarer Exponent ist, , …, ganzzahlige Funktionen vom -ten Grade in bezeichnen und eine Einheit bedeutet, deren -te Potenz in liegt.

Beweis. Aus dem Beweise des Satzes 91 geht hervor, daß die Einheiten

unter Hinzufügung von Grundeinheiten des Körpers voneinander unabhängig sind, und da die Anzahl dieser Einheiten insgesamt beträgt, so gibt es, wenn eine beliebig angenommene Einheit in bedeutet, für gewiß Relationen von der Gestalt

, (122)

wo , , …, ganzzahlige Funktionen vom -ten Grade in sind, unter denen die erste nicht identisch verschwindet, und wo eine solche Einheit in bedeutet, daß in liegt. Aus den unendlich vielen vorhandenen Relationen dieser Art denken wir uns eine solche ausgewählt, bei welcher die ganze Funktion durch eine möglichst niedrige Potenz von teilbar ist. Wir nehmen an, es treffe dies eben für die Relation (122) zu; wir setzen zunächst voraus, es sei dabei noch mindestens einmal durch teilbar. Nach der Definition der Grundeinheiten in § 55 müssen dann

sämtlich ebenfalls durch teilbar sein. Erheben wir die Gleichung (122) in die -te symbolische Potenz und setzen

so folgt leicht, indem wir berücksichtigen, daß die -te symbolische Potenz einer Einheit in K stets eine Einheit in wird,

, (123)

wo wieder eine Einheit in oder die -te Wurzel aus einer Einheit in bedeutet. Wegen der Gleichung (123) ist eine -te Wurzel aus dieser Zahl sicherlich eine Zahl in , also, wie leicht ersichtlich, ebenfalls eine solche Einheit in , deren -te Potenz in liegt, und die wiederum mit zu bezeichnen ist; aus (123) schließen wir daher:

,

wo wiederum eine Einheit in bedeutet, deren -te Potenz in liegt. Diese Gleichung ist von der nämlichen Gestalt wie (122), nur daß hier durch eine niedrigere Potenz von teilbar wäre als oben .

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 293. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/310&oldid=- (Version vom 30.4.2017)