wo
ein ganzer rationaler, nicht durch
teilbarer Exponent ist,
, …,
ganzzahlige Funktionen vom
-ten Grade in
bezeichnen und
eine Einheit bedeutet, deren
-te Potenz in
liegt.
Beweis. Aus dem Beweise des Satzes 91 geht hervor, daß die Einheiten
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unter Hinzufügung von
Grundeinheiten des Körpers
voneinander unabhängig sind, und da die Anzahl dieser Einheiten insgesamt
beträgt, so gibt es, wenn
eine beliebig angenommene Einheit in
bedeutet, für
gewiß Relationen von der Gestalt
,
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(122)
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wo
,
, …,
ganzzahlige Funktionen vom
-ten Grade in
sind, unter denen die erste nicht identisch verschwindet, und wo
eine solche Einheit in
bedeutet, daß
in
liegt. Aus den unendlich vielen vorhandenen Relationen dieser Art denken wir uns eine solche ausgewählt, bei welcher die ganze Funktion
durch eine möglichst niedrige Potenz von
teilbar ist. Wir nehmen an, es treffe dies eben für die Relation (122) zu; wir setzen zunächst voraus, es sei dabei
noch mindestens einmal durch
teilbar. Nach der Definition der Grundeinheiten in § 55 müssen dann
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sämtlich ebenfalls durch
teilbar sein. Erheben wir die Gleichung (122) in die
-te symbolische Potenz und setzen
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so folgt leicht, indem wir berücksichtigen, daß die
-te symbolische Potenz einer Einheit in K stets eine Einheit in
wird,
,
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(123)
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wo
wieder eine Einheit in
oder die
-te Wurzel aus einer Einheit in
bedeutet. Wegen der Gleichung (123) ist eine
-te Wurzel aus dieser Zahl
sicherlich eine Zahl in
, also, wie leicht ersichtlich, ebenfalls eine solche Einheit in
, deren
-te Potenz in
liegt, und die wiederum mit
zu bezeichnen ist; aus (123) schließen wir daher:
,
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wo wiederum
eine Einheit in
bedeutet, deren
-te Potenz in
liegt. Diese Gleichung ist von der nämlichen Gestalt wie (122), nur daß hier
durch eine niedrigere Potenz von
teilbar wäre als oben
.