Zum Inhalt springen

Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/308

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

§ 144. Die ambigen Ideale und die ambigen Idealklassen eines regulären Kummerschen Körpers.

Es sei ein regulärer Kreiskörper, und eine ganze Zahl in , welche nicht gleich der -ten Potenz einer Zahl in ist; der durch und bestimmte reguläre Kummersche Körper werde mit bezeichnet. Wir suchen nunmehr die Theorie dieses Körpers mittelst der entsprechenden Begriffe und Methoden zu fördern, wie sie in den Kapiteln 17 bis 18 in der Theorie des quadratischen Körpers angewandt worden sind.

Die Relativgruppe von in bezug auf wird durch die Potenzen der Substitution gebildet; es werde gemäß § 57 ein Ideal des Körpers ein ambiges Ideal genannt, wenn bei Anwendung der Operation ungeändert bleibt, d. h. ist, und wenn außerdem kein von verschiedenes Ideal des Körpers als Faktor enthält. Nach Satz 93 sind die in der Relativdiskriminante von aufgehenden Primideale sämtlich ambig, und es gibt außer diesen auch keine anderen ambigen Primideale. Ist sodann ein beliebiges ambiges Ideal in , so schließen wir aus leicht (vgl. § 73), daß auch jedes in aufgehende Primideal des Körpers ambig sein muß, und daraus folgt dann, daß die Anzahl aller vorhandenen ambigen Ideale beträgt.

Ist ein Ideal aus einer Klasse des Kummerschen Körpers , so werde die durch das relativ konjugierte Ideal bestimmte Idealklasse mit bezeichnet. Die Klassen , , …, sollen die zu relativ conjugierten Klassen heißen. Ist ferner eine beliebige ganzzahlige Funktion vom -ten Grade in , nämlich

,

wo , , …, ganze rationale Zahlen sind, so werde die durch den Ausdruck

bestimmte Klasse die -te symbolische Potenz der Klasse genannt und mit

bezeichnet. Endlich heiße eine Idealklasse des Kummerschen Körpers eine ambige Klasse wenn , d. h., wenn ihre -te symbolische Potenz wird. Die -te Potenz einer beliebigen ambigen Klasse ist stets eine solche Klasse, welche unter ihren Idealen in liegende Ideale enthält. Dies ergibt sich unmittelbar, wenn wir berücksichtigen, daß wir

als Folge von haben und daß andererseits die Relativnorm eines beliebigen Ideals in stets notwendig ein Ideal in ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 291. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/308&oldid=- (Version vom 29.1.2017)