für
, wo
im Exponenten symbolisch zu verstehen ist.
Die Einheit
ist als
-te Potenz einer ganzen Zahl in
notwendig
nach
, und das gleiche gilt dann auch von jeder der Einheiten
. Wir denken uns nun allgemein bei jedem Werte
die zur Einheit
gehörende Funktion
gemäß § 131 gebildet; dann gelten für die rationalen Zahlen
, ,
|
|
d. h. für die Werte der ersten
Differentialquotienten des Logarithmus von
an der Stelle
, die Kongruenzen:
|
(110)
|
Um dies zu beweisen, bedenken wir, daß nach den Formeln S. 266 oben bei der Berechnung der ersten
Differentialquotienten
,
|
|
in bezug auf die Zahl
an Stelle der zu
gehörenden Funktion direkt die folgende ganze Funktion
|
|
genommen werden darf. Nun gilt bekanntlich die Entwicklung
,
|
|
wo
,
,
, … die Bernoullischen Zahlen bedeuten. Mit Benutzung dieser unendlichen Reihe folgt
|
(111)
|
Von derselben Verwendbarkeit wie
in bezug auf die Zahl
ist die Funktion
in bezug auf die Zahl
,
in bezug auf
usf. Ersetzen wir dann nach Entwicklung des Ausdrucks (109) von
darin
,
,
, … durch
,
,
, … so entsteht eine Funktion
, welche nach den Ausführungen auf S. 266 bei Bildung von
,
, …,
die Stelle der Funktion
vertreten kann. Aus (111) ergibt sich
|
|