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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/204

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immer dann mit dem ursprünglichen Äquivalenzbegriffe zusammenfällt, wenn für den Körper die Norm der Grundeinheit ist. Wenn aber reell ist und aufweist, so löst sich eine Idealklasse im Sinne der früheren Einteilung bei der neuen Einteilung regelmäßig in zwei Klassen auf; insbesondere entstehen aus der früheren Klasse der Hauptideale die zwei durch das Hauptideal (1) und durch das Hauptideal vertretenen Klassen der neuen Einteilung. Bezeichnet die Anzahl der Idealklassen bei Benutzung des engeren Äquivalenzbegriffes, so ist daher unter den gegenwärtig angenommenen Umständen [Dedekind (1[1])].

§ 84. Der Fundamentalsatz für den neuen Klassen- und Geschlechtsbegriff.

Dem neuen Klassenbegriff entspricht ein neuer Geschlechtsbegriff: das Geschlecht eines Ideals im Körper soll nämlich nunmehr in allen Fällen gleichmäßig durch die Einheiten

, …,

charakterisiert werden, wo die Norm von im Unterschiede von der früheren Festsetzung stets das positive Vorzeichen erhält. Für einen imaginären Körper stimmt dieser neue Geschlechtsbegriff mit dem alten völlig überein. Das Gleiche gilt für einen reellen Körper , falls das Charakterensystem der Zahl in aus lauter positiven Einheiten besteht. Der letztere Umstand muß offenbar immer eintreten, wenn für die Norm der Grundeinheit ist. Nun sei reell und für die Norm der Grundeinheit , so sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem das Charakterensystem der Zahl in aus lauter positiven Einheiten besteht oder nicht.

Im ersteren Falle gehören die Ideale () und beide zum nämlichen Geschlechte, da sich

für , …, ergibt. Die neuen Geschlechter umfassen also die nämlichen Ideale wie die alten, und die Zahl der Geschlechter ist wiederum .

Im zweiten Falle gehören die beiden Idealklassen, welche durch das Ideal () und durch das Ideal repräsentiert werden, zu verschiedenen der neuen Geschlechter. Die Anzahl der neuen Geschlechter ist doppelt so groß, als die der alten; nun war für diesen Fall die Anzahl der Einzelcharaktere bei Zugrundelegung des ursprünglichen Geschlechtsbegriffs nur und die Anzahl der alten Geschlechter daher ; es ergibt sich somit die Anzahl der neuen Geschlechter, ebenso wie im ersten Falle, . Da ferner in jedem Falle das Produkt


  1. [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive