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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/198

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§ 79. Die transzendente Darstellung der Klassenanzahl und eine Anwendung darauf, daß der Grenzwert eines gewissen unendlichen Produktes positiv ist.

Der zweite Beweis für die Existenz der Geschlechter beruht auf transzendenter Grundlage; wir entwickeln der Reihe nach die folgenden Sätze:

Satz 109. Die Anzahl der Idealklassen des quadratischen Körpers mit der Diskriminante bestimmt sich durch folgende Formel:

.

Hierin ist das Produkt rechter Hand über alle rationalen Primzahlen zu erstrecken, und das Symbol hat die in § 61 festgesetzte Bedeutung. Für den Faktor gilt, je nachdem der Körper imaginär oder reell, also negativ oder positiv ist:

bez. .

Dabei bedeutet für die Zahl , für die Zahl , für jedes andere negative die Zahl ; andererseits verstehe man für einen reellen Körper unter jetzt speziell diejenige seiner vier Grundeinheiten, welche ist, und unter log den reellen Wert des Logarithmus dieser Grundeinheit [Dirichlet (8[1], 9[2])].

Beweis. Nach § 27 gilt, so lange reell und ist:

,

wo das Produkt über alle Primideale des Körpers zu erstrecken ist. Ordnen wir dieses Produkt nach den rationalen Primzahlen , aus welchen die Primideale herstammen, so gehört, wie aus Satz 97 folgt, zu einer beliebigen rationalen Primzahl in dem Produkte das Glied:

oder oder ,

je nachdem , , ist. Wir schreiben diese drei Ausdrücke in der ihnen gemeinschaftlichen Form:

und erhalten so:

,

  1. [357] Sur l’usage des séries infinies dans la théorie des nombres. Werke 1, 357 (1838).
  2. [357] Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres. Werke 1, 411 (1839)‚ (1840).

Anmerkungen (Wikisource)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 181. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/198&oldid=- (Version vom 31.7.2018)