§ 79. Die transzendente Darstellung der Klassenanzahl und eine Anwendung darauf, daß der Grenzwert eines gewissen unendlichen Produktes positiv ist.
Der zweite Beweis für die Existenz der
Geschlechter beruht auf transzendenter Grundlage; wir entwickeln der Reihe nach die folgenden Sätze:
Satz 109. Die Anzahl
der Idealklassen des quadratischen Körpers
mit der Diskriminante
bestimmt sich durch folgende Formel:
|
.
|
Hierin ist das Produkt rechter Hand über alle rationalen Primzahlen
zu erstrecken, und das Symbol
hat die in § 61 festgesetzte Bedeutung. Für den Faktor
gilt, je nachdem der Körper
imaginär oder reell, also
negativ oder positiv ist:
|
bez. .
|
Dabei bedeutet
für
die Zahl
, für
die Zahl
, für jedes andere negative
die Zahl
; andererseits verstehe man für einen reellen Körper
unter
jetzt speziell diejenige seiner vier Grundeinheiten, welche
ist, und unter log
den reellen Wert des Logarithmus dieser Grundeinheit
[Dirichlet (8[1], 9[2])].
Beweis. Nach § 27 gilt, so lange
reell und
ist:
|
,
|
wo das Produkt über alle Primideale
des Körpers
zu erstrecken ist. Ordnen wir dieses Produkt nach den rationalen Primzahlen
, aus welchen
die Primideale
herstammen, so gehört, wie aus Satz 97 folgt, zu einer beliebigen rationalen Primzahl
in dem Produkte das Glied:
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oder oder ,
|
je nachdem
,
,
ist. Wir schreiben diese drei Ausdrücke in der ihnen gemeinschaftlichen Form:
|
|
und erhalten so:
|
,
|
- ↑ [357] Sur l’usage des séries infinies dans la théorie des nombres. Werke 1, 357 (1838).
- ↑ [357] Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres. Werke 1, 411 (1839)‚ (1840).
Anmerkungen (Wikisource)