Primzahl, so bezeichne das Symbol
den Wert
, sobald die Zahl
mit der Norm einer ganzen Zahl des durch
bestimmten quadratischen Körpers
kongruent ist nach der Primzahl
, und sobald außerdem auch für jede höhere Potenz von
eine ganze Zahl in
existiert, deren Norm der Zahl
nach jener Potenz von
kongruent ist; in jedem anderen Falle setzen wir
. Diejenigen ganzen rationalen Zahlen
, für
welche
ist, sollen Normenreste des Körpers
nach
diejenigen Zahlen
, für welche
ist, Normennichtreste des Körpers
nach
heißen. Ist
eine Quadratzahl, so werde unter
stets
verstanden. Über die zur Berechnung dienenden Eigenschaften des
Symbols
gibt der folgende Satz Aufschluß:
Satz 98. Bedeuten
und
ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahlen, so gelten folgende Regeln:
für ungerade Primzahlen
wird
|
|
;
|
|
für
wird
,
|
|
.
|
|
Ferner gelten allgemein für beliebige ganze rationale Zahlen
,
,
,
und in bezug auf jede Primzahl
die Formeln:
,
|
|
,
|
|
|
|
.
|
|
Beweis. Zunächst ist folgende Tatsache selbstverständlich: Wenn
selbst Norm einer ganzen Zahl im Körper
ist, so gilt
. Da insbesondere
die Norm von
ist, so folgt daraus die Richtigkeit der Formel
. Sind ferner
und
zwei ganze rationale Zahlen
, deren Quotient