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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/174

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Dritter Teil.
Der quadratische Zahlkörper.
16. Die Zerlegung der Zahlen im quadratischen Körper.

§ 59. Die Basis und die Diskriminante des quadratischen Körpers.

Es bedeute eine ganze rationale, positive oder negative Zahl, die durch keine Quadratzahl außer teilbar und auch von verschieden ist; die quadratische Gleichung

ist dann im Bereich der rationalen Zahlen irreduzibel. Wir verstehen im folgenden unter stets im Falle die positive Wurzel jener quadratischen Gleichung und im Falle diejenige ihrer Wurzeln, welche positiv imaginär ist. Die so festgelegte algebraische Zahl bestimmt einen quadratischen reellen, bezüglich imaginären Zahlkörper, der oder auch schlechthin heiße; dieser Körper ist stets ein Galoisscher Körper. Durch die Operation der Vertauschung von mit in einer Zahl oder einem Ideal des Körpers geht man zu der konjugierten Zahl bez. dem konjugierten Ideal über. Dieser Übergang werde durch Vorsetzung des Substitutionszeichens angedeutet.

Unsere erste Aufgabe ist die Aufstellung einer Basis des quadratischen Körpers und die Ermittlung seiner Diskriminante [Dedekind (1[1])].

Satz 95. Eine Basis des quadratischen Körpers bilden die Zahlen , , wenn

genommen wird, je nachdem die Zahl nach ist oder nicht. Die Diskriminante von ist, entsprechend diesen zwei Fällen,

Beweis. Die Zahl ist stets ganz, da sie der Gleichung

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genügt. Bezeichnet die zu konjugierte Zahl, so ist


  1. [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 157. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/174&oldid=- (Version vom 31.7.2018)