ganze Zahl
in
, welche durch
, aber nicht durch
teilbar ist, und deren übrige Primfaktoren sämtlich von niederem als dem
-ten Grade sind.
Beweis. Es sei
eine ganze Zahl des Körpers
von der Art, daß jede
andere ganze Zahl
einer ganzzahligen Funktion von
nach
kongruent wird. Nach Satz 29 existiert eine solche Zahl
stets. Wir bezeichnen ferner
die zu
konjugierten und von
verschiedenen Primideale mit
,
, …‚
und bestimmen dann eine ganze Zahl
in
, welche den Kongruenzen
|
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genügt. Ist
eine solche Substitution der zu
gehörigen Zerlegungsgruppe, für welche
nach
wird, so sind offenbar die
Differenzen
,
, …,
zu
prim. Ist ferner
eine nicht zur Zerlegungsgruppe gehörige Substitution, so wird
durch
teilbar, und folglich ist die Differenz
zu
prim. Die Differente von
ist mithin zu
prim, und daher folgt nach der Bemerkung auf S. 71, daß
eine den Körper
bestimmende Zahl darstellt. Mit Rücksicht auf Satz 31 ist
der Trägheitskörper von
, und daher genügt
einer Gleichung von der Gestalt:
|
,
|
wo
, …‚
Zahlen im Zerlegungskörper
des Primideals
bedeuten. Die übrigen Unterkörper des Körpers
vom nämlichen Grade
bezeichnen wir mit
,
, …; es genügt
dann auch den Gleichungen
|
|
wo
, …,
Zahlen in
,
, …,
Zahlen in
usf. sind. Nunmehr bestimme man
ganze rationale Zahlen
, …‚
so, daß
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, …, , ( )
|
wird; dies ist möglich, weil nach Satz 70 das Ideal
in
vom ersten Grade ist.
Sodann seien
, …,
solche
ganze rationale Zahlen, welche den Kongruenzen
|
, …, , ( )
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genügen, und für welche überdies keine der zum Index 1 gehörigen Verbindungen
|
, , …
|
verschwindet. Wir setzen ferner
|
.
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