Zum Inhalt springen

Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/150

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Um die übrigen Behauptungen des Satzes 69 zu beweisen, bestimmen wir eine Primitivzahl des Primideals , welche kongruent nach allen zu konjugierten und von verschiedenen Primidealen ist. Die Möglichkeit der Bestimmung einer solchen Primitivzahl folgt aus Satz 25; dann bilden wir die ganzzahlige Funktion -ten Grades von

.

Da eine Wurzel der ganzzahligen Kongruenz nach ist, so genügt nach Satz 27 auch der nämlichen Kongruenz, und hieraus folgt, daß es unter den Substitutionen , …, notwendig eine Substitution von der Art gibt, daß nach wird. Wäre nun so bestände infolge der Wahl von die Kongruenz nach ‚ und folglich müßte nach sein, was der vorhin gefundenen Kongruenz widerspräche.

Wegen gehört die Substitution zur Zerlegungsgruppe. Wir setzen . Die wiederholte Anwendung der Substitution auf die Kongruenz nach liefert die weiteren Kongruenzen , , …, nach . Infolge der letzten Kongruenz ist eine Substitution der Trägheitsgruppe. Denn jede beliebige ganze Zahl des Körpers kann in der Gestalt oder dargestellt werden, wo eine ganze rationale Zahl und eine durch teilbare Zahl des Körpers bedeutet. Wegen folgt daraus in der Tat nach .

Die Kongruenz nach lehrt, daß nach ist, wo eine beliebige Substitution der Trägheitsgruppe bedeutet. Setzen wir und verstehen unter eine beliebige ganze Zahl des Körpers , so folgt, wenn der Kongruenz nach genügt, nach , und desgleichen, wenn nach ist, d. h. gehört der Trägheitsgruppe an.

Es sei nun diejenige ganzzahlige Funktion -ten Grades von , welche nach ist; nach Satz 27 hat die Kongruenz nach die Wurzeln , , …, , und nach Satz 26 besitzt sie keine anderen Kongruenzwurzeln.

Ist nun eine beliebige Substitution der Zerlegungsgruppe, so folgt aus der Kongruenz nach notwendig , und daher muß nach sein, wo einen der Werte , , …, hat. Da andererseits ist, so wird nach , und mithin ist eine Substitution der Trägheitsgruppe, d. h. . In dieser letzteren Gestalt sind also sämtliche Substitutionen , , , … der Zerlegungsgruppe darstellbar, und da auch umgekehrt für lauter von einander verschiedene Substitutionen darstellt, so ist der letzte Teil des Satzes 69 bewiesen. Endlich erhellt jetzt auch die Invarianz der Trägheitsgruppe aus der oben bewiesenen Tatsache, daß stets zu dieser Gruppe gehört.

Zugleich ergibt sich .

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 133. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/150&oldid=- (Version vom 31.7.2018)