dargestellt werden kann, wo
, …‚
ganze rationale Zahlen sind, und wo
eine in
vorkommende Einheitswurzel bedeutet.
Um den Beweis dieses Satzes vorzubereiten, ordnen wir die
konjugierten
Körper
, …,
in bestimmter Weise, wie folgt, an. Voran stellen wir die
reellen Körper
, …‚
; dann wählen wir aus jedem der
Paare konjugiert imaginärer Körper je einen aus; diese Körper seien:
, …,
;
darauf lassen wir die zu diesen konjugiert imaginären Körper folgen:
‚ …,
. Wir bilden nun mit den
beliebigen reellen Veränderlichen
, …‚
die
Linearformen
, ( , , …, )
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und schreiben noch
. Sind
, …,
sämtlich
, so setzen wir im
Falle, daß
ein reeller Körper ist,
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und im Falle, daß
und
konjugiert imaginäre Körper sind,
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wo
, …‚
sämtlich reelle Größen sind und insbesondere die Werte
den Ungleichungen
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genügen sollen; die Größen
, …,
sind hierdurch als eindeutige reelle
Funktionen der reellen Veränderlichen
, …,
definiert; sie sollen die
Logarithmen zur Form
heißen. Bezeichnet ferner
den reellen Teil des
Logarithmus von
, so ist
|
.
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Sind
, …,
ganze rationale Zahlen, die nicht sämtlich verschwinden,
so stellt
eine ganze von
verschiedene Zahl
des Körpers
dar.
Die Größen
, …‚
sind dann eindeutig durch die Zahl
bestimmt
und sollen die Logarithmen zur Zahl
heißen. Ist
eine Einheit des Körpers
,
so besteht wegen
die Gleichung
|
.
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Die reellen Variabeln
, …,
sind umgekehrt durch die Werte der
Logarithmen
‚ …‚
-deutig bestimmt, da durch letztere die
reellen Werte
, …,
nur bis auf das Vorzeichen, dagegen die übrigen konjugiert imaginären Wertepaare
, …,
vollständig bestimmt sind.
Um die später anzuwendende Funktionaldeterminante dieses Abhängigkeitsverhältnisses zu berechnen, bezeichnen wir, wenn
, …‚
beliebige
Funktionen der Variabeln
, …‚
sind, die Funktionaldeterminante der