jede ganze Zahl des Körpers einem Ausdruck von der obigen Gestalt kongruent sein muß, so folgt
.
In dem Fall, daß
nach
ist, setze man
, wo
eine durch
, aber nicht durch
teilbare Zahl ist. Es ist dann, da nach Satz 27
nach
ist, notwendig
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.
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Die Zahl
ist eine Zahl von der verlangten Beschaffenheit. Durchlaufen nämlich
,
, …‚
alle Ausdrücke von der Gestalt
‚ wo
,
, …,
Zahlen aus der Reihe
,
, …,
bedeuten, so stellt, wie leicht ersichtlich, die Summe
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lauter nach
einander inkongruente ganze Zahlen dar, und da hier
Zahlen vorliegen, so sind damit sämtliche nach
inkongruenten Reste erschöpft. Offenbar kommt die gleiche Eigenschaft auch jeder Zahl zu, welche der Zahl
nach
kongruent ist.
Den letzteren Umstand benutzen wir zu der folgenden Darstellung des Ideals
:
Satz 30. Wenn ein Primideal
vom
-ten Grade vorgelegt ist, so gibt es im Körper
stets eine ganze Zahl
von der im Satze 29 verlangten Eigenschaft und überdies von der Art, daß man
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hat, wo
eine ganze Funktion
-ten Grades von
mit ganzen rationalen Koeffizienten ist.
Beweis: Es sei
, wo das Ideal
nicht durch
teilbar ist. Ferner sei
eine nicht durch
, wohl aber durch
teilbare ganze Zahl. Nach Satz 24 ist
nach
. Ersetzen wir nun die im vorigen Beweise gefundene Zahl
durch
‚ so behält diese neue Zahl
die frühere Eigenschaft; da ferner der letzte Koeffizient der Funktion
nicht durch
teilbar sein kann, so ist für die neue Zahl
notwendig
prim zu
, d. h.
.
4. Die Diskriminante des Körpers und ihre Teiler.
§ 10. Der Satz über die Teiler der Diskriminante des Körpers. Hilfssätze über ganze Funktionen.
Die Diskriminante des Körpers
ist, wenn
, …,
eine Basis von
bedeutet, definiert durch die Gleichung
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;
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