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	Max Planck: Das Prinzip der Relativität und die Grundgleichungen der Mechanik

Diese Gleichungen enthalten die Lösung der gestellten Aufgabe, sie bilden diejenige Verallgemeinerung der Newtonschen Bewegungsgleichungen 2), welche durch das Prinzip der Relativität gefordert wird.

Vergleicht man sie mit den Lagrangeschen Bewegungsgleichungen:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}\right)=X$, usw.

. . . 7)

wo $H$ das kinetische Potential bezeichnet, so ergibt sich:

$H=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}+const$

. . . 8)

Den Satz der lebendigen Kraft gewinnt man, wenn man die Gleichungen 7) beziehungsweise mit ${\dot {x}}\ dt$, ${\dot {y}}\ dt$, ${\dot {z}}\ dt$ multipliziert und addiert. Dann folgt:

$d\left({\dot {x}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}+{\dot {y}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}+{\dot {x}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}-H\right)=X\ dx+Y\ dy+Z\ dz$,

und aus dieser Beziehung geht der Ausdruck der lebendigen Kraft $L$ des Massenpunktes hervor:

$L={\dot {x}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}+{\dot {y}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}+{\dot {x}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}-H={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}+const$.

Die Bewegungsgleichungen 7) lassen sich auch darstellen in der Form des Hamiltonschen Prinzips:

$\,\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}(\delta H+A)dt=0$,

wobei die Zeit $t$, sowie die Anfangs- und Endlage unvariiert bleibt, und $A$ die virtuelle Arbeit bezeichnet:

$A=X\delta x+Y\delta y+Z\delta z$.

Endlich stellen wir noch die Hamiltonschen kanonischen Bewegungsgleichungen auf. Hierzu dient die Einführung der „Impulskoordinaten“ $\xi$, $\eta$, $\zeta$, wobei:

$\xi ={\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {m{\dot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}$, usw.

Empfohlene Zitierweise:
Max Planck: Das Prinzip der Relativität und die Grundgleichungen der Mechanik. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1906, Seite 140. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Das_Prinzip_der_Relativit%C3%A4t_und_die_Grundgleichungen_der_Mechanik.djvu/5&oldid=- (Version vom 29.12.2019)