( .)
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oder auch so[1]:
( .)
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oder endlich, weil
von
unabhängig ist, auch so:
( .)
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Substituirt man diesen Werth in (
.), so erhält man:
( .)
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dies aber ist die zu beweisende Formel (14.).
Der Uebergang von (14.) zu (15.), zu (16.), endlich zu (17.) bedarf keiner weiteren Erläuterung.
III. Zugehörige Integralformeln.
Finden in zwei Körpern
und
irgend welche elektrische Vorgänge statt, so ist das elektrodynamische Potential
der beiden Körper aufeinander definirt durch die Formel (pag. 166):
(18.)
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wo
irgend zwei Volumelemente der beiden Körper, ferner
die in diesen Elementen vorhandenen elektrischen Strömungen, endlich
die Cosinus derjenigen Winkel vorstellen, unter denen
- ↑ Es ist nämlich:
![{\displaystyle \partial _{0}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9ee270e1a315a99cb4a65d508c086f5383fd41)
Hieraus folgt durch Ausführung der Operation
:
![{\displaystyle \Delta _{0}\partial _{0}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\Delta _{0}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\Delta _{0}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\Delta _{0}{\mathfrak {w}}_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4162c1345c0e82ef714ad587406072c417a9ee7e)
Nun ist im Allgemeinen
. Die Componenten
sind aber unabhängig von
so dass also z.B.
Null sind, mithin
sich reducirt auf
. Mit Rücksicht auf die Relationen:
kann die vorstehende Formel auch so geschrieben werden:
![{\displaystyle \Delta _{0}\partial _{0}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}d{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}d{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}d{\mathfrak {w}}_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cf72cbd2bc6a3816315d7301d58a3b07428c04)
Durch diese Erörterungen findet der Uebergang von (
.) ZU (
.) seine Rechtfertigung.