im vorliegenden speciellen Falle ist aber
, mithin
, ebenso
; so dass man also auch schreiben kann:
![{\displaystyle \Delta \Omega '=\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} du_{1}+\mathrm {B} dv_{1}+\Gamma dw_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}du_{1};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1553f100191a8dcbe586b867b79aa4b2da0a3a27)
oder mit Rücksicht auf (47.a):
![{\displaystyle \Delta \Omega '=\omega {\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}{\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)du_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)dv_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)dw_{1}}{r}}+{\overset {II}{\omega }}du_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54b7887ee54c3618c7161ea4046aedc70aa64fb)
Somit gelangt man zu folgendem specielleren Satz:
Ist
, mit den Coordinaten
ein Punct innerhalb eines gegebenen ponderablen Körpers
, ferner
, mit den Coordinaten
irgend ein Volumelement von
, ferner
die gegenseitige Entfernung zwischen
und
, und sind endlich
die Componenten der in
zur Zeit
vorhandenen elektrischen Strömung, so werden die Componenten
derjenigen elektromotorischen Kraft eldy. Us, welche
während der Zeit
im Puncte
hervorbringt, die Werthe haben:
(48.)
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Dabei ist vorausgesetzt, dass das zu Grunde gelegte Coordinatensystem (
) in starrer Verbindung steht mit der ponderablen Masse des gegebenen Körpers[1].
- ↑ Die hier auftretenden Functionen
und
sind, wie früher (pag. 148) gefunden war, mit einander verknüpft durch die Relation
(49.)
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Für den Fall eines beträchtlichen
ist
, die Gestalt dieser Relation also folgende:
( .)
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Macht man nun die nicht unwahrscheinliche Annahme, dass für den Fall eines beträchtlichen
die Functionen
von der Form sind
( .)
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wo
Constante sein sollen, so geht jene Relation über in:
( .)
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[183] oder
( .)
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Hieraus folgt:
( .)
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wo
eine noch unbekannte Constante vorstellt. Endlich folgt aus (
.) und (
.):
( .)
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Durch Substitution dieser Werthe (
.) würden die Gleichungen (48.) in diejenigen sich verwandeln, von denen Helmholtz bei seinen letzten Untersuchungen ausgegangen ist (vergl. Borchardt’s Journal, Bd. 72, pag. 76). Wenn indessen Helmholtz der Ansicht ist, die hier hineingetretene Constante
müsse Null oder positiv sein; so wird sich im weiteren Verlaufe unserer Untersuchungen das Gegentheil herausstellen, nämlich nachgewiesen werden, dass die Function
identisch mit Null, und dass also [nach (
.)] die Constante
identisch mit (−1) sein muss.