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Fünf Sätze über Curven-Integrale.
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wo
gerechnet sein soll von
nach
Alsdann wird für eine beliebige nur von
abhängende Function
jederzeit die Gleichung stattfinden:
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die Integration ausgedehnt gedacht über jene beiden geschlossenen Curven.
Beweis. — Der Satz ist, abgesehen von der etwas abweichenden Form, identisch mit einem schon früher (pag. 69) gefundenem Satze.
Fünfter Satz. Hält man fest an den Bezeichnungen des vorhergehenden Satzes, versteht man ferner unter
und
irgend zwei nur von
abhängende Functionen, und ist bekannt, dass das über zwei geschlossene Curven ausgedehnte Integral
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jederzeit verschwindet, wie beschaffen jene beiden geschlossenen Curven auch sein mögen; — so folgt daraus, dass die beiden Functionen
und
miteinander verknüpft sind durch die Relation:
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Beweis. — Addirt man zu dem Integrale
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das zufolge des vorhergehenden Satzes jederzeit verschwindende Integral (39.):
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so erhält man
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d.i.
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wo
und
die rechtwinkligen Projectionen von
und
vorstellen.
In Betreff der Functionen
ist nun in unserm Satze als bekannt vorausgesetzt, dass dieses Integral
verschwindet für zwei geschlossene Curven, wie beschaffen dieselben auch sein mögen. Aus