|
Fünf Sätze über Curven-Integrale.
|
89
|
einen Werth besitzen, der sich ausdrücken lässt durch:
|
|
oder auch durch:
|
|
In diesem Ausdrucke bezeichnet
den Quadratinhalt der von der Curve umgrenzten ebenen Fläche; ferner bezeichnen daselbst
die Richtungscosinus derjenigen auf
errichteten Normale, welche positiv liegt zu der durch
indicirten Umlaufrichtung; endlich bezeichnen daselbst [nämlich in (17.b, c)]
die Coordinaten eines Punctes, welcher auf
selber oder unendlich nahe an
beliebig gewählt werden darf.
Beweis. — Um den Satz zu beweisen, setzen wir
|
|
und folglich:
|
|
wo
irgend ein fester Punct sein soll, der entweder auf
selber oder unendlich nahe an
liegt, und
die Coordinaten dieses Punctes vorstellen sollen. Alsdann wird:
|
|
und folglich durch Entwickelung nach
|
|
Hieraus folgt, wenn man über die Randcurve von
integrirt, sofort:
|
|
Nun ist
ebenso
d. i.
Somit ergeben sich die Formeln:
|
|
Ferner erhält man
d. i.
|
|