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Geometrische Unterscheidungen.
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man erhält also :
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oder einfacher geschrieben:
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wo
und
die Längen der beiden Linien
und
vorstellen, während
den Winkel bezeichnet, unter welchem diese beiden Linien gegen einander geneigt sind. Somit folgt:
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oder was dasselbe ist:
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wo
den Flächeninhalt des durch den Punct
und das Linienelement
bestimmten Dreiecks vorstellt. Somit ergiebt sich :
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Demgemäss nehmen die Werthe von
(11.) folgende Gestalt an:
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Substituirt man aber diese Werthe in die Gleichung (10.a, b), so ergiebt sich sofort, dass die bisjetzt noch zweifelhafte Grösse
den Werth
besitzen muss [1]. Man erhält also schliesslich:
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Summirt man die erste dieser Gleichungen über sämmtliche Elemente
der gegebenen Randcurve, so erhält man:
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Nun ist offenbar
ebenso
und
ferner
falls man nämlich unter
den Flächeninhalt des gegebenen Flächenstückes versteht. Somit ergiebt sich:
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- ↑ Es ist nämlich zu beachten, dass die Grösse
den Flächeninhalt eines Dreiecks vorstellt, und folglich von positivem Werthe ist.