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Geometrische Unterscheidungen.
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Hiefür endlich kann geschrieben werden:
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Somit gelangen wir zu folgendem Resultat:
Satz. Sind im Raume irgend vier Puncte
gegeben, sind ferner
und
die Coordinaten von
und
und sind endlich
und
die Richtungscosinus von
und
so werden die beiden Linien
und
positiv oder negativ zu einander liegen, jenachdem die Determinante
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einen positiven oder negativen Werth besitzt.
Es sei gegeben ein ebenes Flächenstück, begrenzt von einer convexen Randcurve [1]; und es seien
und
die Coordinaten für irgend zwei aufeinanderfolgende Puncte dieser Randcurve; ferner seien
die Coordinaten eines beliebigen Punktes
im Innern des Flächenstückes. Endlich seien
die Richtungscosinus derjenigen in
errichteten Normale, welche positiv liegt zu der durch die Reihenfolge
indicirten Umlaufsrichtung. Alsdann wird, weil die Curve überall convex ist, die Linie
positiv liegen zur Normale
Folglich wird, nach (9.), die Relation stattfinden:
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d. i. die Relation
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Andererseits ergeben sich, weil
gegen
und gegen
senkrecht steht, sofort die Relationen:
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wo
einen noch unbekannten Factor vorstellt. Dieser Factor bestimmt sich durch die bekannte Relation:
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- ↑ Dieses Flächenstück kann also z. B. auch dargestellt sein durch eine Dreiecksfläche oder überhaupt durch ein ebenes convexes Polygon.