§ 2.
Mathematische Hilfsformeln.
Die Zeitdifferentiation für feste Raumpunkte wird durch
vorgestellt. Die zeitliche Änderung eines Flächenintegrales, erstreckt über eine Fläche, deren Punkte sich mit der Geschwindigkeit
bewegen
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int df\ {\mathfrak {A}}_{n}=\int df\left\{{\frac {\partial '{\mathfrak {A}}}{\partial t}}\right\}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d6fc435f2eb2755ed11d68bf8e1fbbe1e896c4)
definiert eine andere Art der Zeitdifferentiation eines Vektors
(1)
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.
Ferner ist der auf bewegte Punkte bezogene Differentialquotient nach der Zeit
(2)
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Dieser ist mit der zeitlichen Änderung des Volumintegrales eines Vektors verknüpft durch die Beziehungen
(2a)
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Aus (2) und (2a) folgt
(3)
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Für Skalare ergiebt sich dementsprechend
(3a)
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Aus (1) und (3) folgt endlich, mit Rücksicht auf die allgemeine Regel
![{\displaystyle \mathrm {curl} [{\mathfrak {Aw}}]=({\mathfrak {w}}\nabla ){\mathfrak {A}}-({\mathfrak {A}}\nabla ){\mathfrak {w}}+{\mathfrak {A}}\ \mathrm {div} \ {\mathfrak {w}}-{\mathfrak {w}}\ \mathrm {div} \ {\mathfrak {A}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d3feef97ff885d511307a733cc223158db76d8a)
die Beziehung
(4)
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Da die in (2) eingeführte Art der Zeitdifferentiation den gewöhnlichen Rechnungsregeln folgt, so gilt, mit Rücksicht auf (2a)
![{\displaystyle [{\mathfrak {{\dot {A}}B}}]+[{\mathfrak {A{\dot {B}}}}]={\frac {\delta }{\delta t}}[{\mathfrak {AB}}]-[{\mathfrak {AB}}]\mathrm {div} \ {\mathfrak {w}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58e13fdc982c22061baa12c6aa3c396e4ddf538)
Aus dieser Gleichung, im Verein mit den aus (4) und (2a) folgenden
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial '{\mathfrak {A}}}{\partial t}}={\mathfrak {\dot {A}}}+{\mathfrak {A}}\ \mathrm {div} \ {\mathfrak {w}}-({\mathfrak {A}}\nabla ){\mathfrak {w}},\\\\{\frac {\partial '{\mathfrak {B}}}{\partial t}}={\mathfrak {\dot {B}}}+{\mathfrak {B}}\ \mathrm {div} \ {\mathfrak {w}}-({\mathfrak {B}}\nabla ){\mathfrak {w}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbebfaa6e6cad6b49132c56b04201d4470482a60)