Schwere, Elektricität und Magnetismus:371

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 357
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Die Componenten der erdmagnetischen Kraft.

(8)	$Z=Z_{0}^{*}+Z_{0}+Z_{1}+Z_{2}+\ldots +Z_{n}+\ldots \,$ $Z_{n}={\frac {(2n+1)}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot Z'\sin \theta 'd\theta '.\,$

Andererseits ist

$Z=-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=a+0},\,$

folglich nach §. 107, Gleichung (6)

(8)	$Z=-Q_{0}-2Q_{1}-3Q_{2}-\ldots -(n+1)Q_{n}-\ldots$

Es muss also in der Entwicklung (8) nothwendig

$Z_{0}=0\,$

sein, weil $Q_{0}=0\,$ ist, und es bestimmen sich die Coefficienten in den übrigen Functionen $Q\,$ durch die für $n=1,2,3,\ldots \,$zu erfüllende Gleichung

(10)	$Q_{n}={\frac {-1}{n+1}}Z_{n}.$

Dadurch ist auch wieder in der Gleichung (6) des §. 107 alles bekannt.

§. 111. Die Componenten der erdmagnetischen Kraft.

 Wir wollen den Punkt $(a,\,\theta ,\,\varphi )\,$ der Erdoberfläche zum Anfangspunkte eines rechtwinkligen Coordinatensystems $(\xi ,\ \eta ,\ \zeta )\,$ machen. Die Axe der positiven $\xi \,$ soll tangential am Meridian nach Norden, die Axe der positiven $\eta \,$ tangential am Parallelkreis nach Westen und die Axe der positiven $\zeta \,$ vertical nach unten gerichtet sein. Bezeichnen wir mit $\Xi ,\ \mathrm {H} ,\ \mathrm {Z} \,$ die Componenten der auf die positive Einheit des Magnetismus im Punkte $(a,\,\theta ,\,\varphi )\,$ einwirkenden erdmagnetischen Kraft, so hat man

(1)	$\Xi =-\left({\frac {\partial V}{a\partial \theta }}\right)_{r=a}={\frac {\partial Q_{1}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial Q_{2}}{\partial \theta }}+\ldots +{\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}+\ldots ,\,$

(2)	$\mathrm {H} =-\left({\frac {\partial V}{a\sin \theta \partial \varphi }}\right)_{r=a}={\frac {\partial Q_{1}}{\sin \theta \partial \varphi }}+\ {\frac {\partial Q_{2}}{\sin \theta \partial \varphi }}+\ \ldots +{\frac {\partial Q_{n}}{\sin \theta \partial \varphi }}+\ldots ,\,$

(3)	$\mathrm {Z} =-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=a+0}=-2Q_{1}-3Q_{2}-\ldots -(n+1)Q_{n}-\ldots .\,$

 Diese Gleichungen können dazu dienen, für jeden Punkt der Erdoberfläche die Componenten der erdmagnetischen Kraft zu