Schwere, Elektricität und Magnetismus:368

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 354
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Neunter Abschnitt. §. 109.

$(n-m)(n+m+1)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}S_{m}\sin \theta d\theta =0.\,$

Nach der über $m\,$ und $n\,$ gemachten Voraussetzung sind die beiden Factoren vor dem Integral von Null verschieden. Die Gleichung kann also nur dadurch erfüllt sein, dass

(11)	$\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}S_{m}\sin \theta d\theta =0\,$

ist. Der Satz gilt auch dann noch, wenn einer der beiden Indices Null ist, z. B. $m=0\,$. Dann ist nemlich $So=const\,$. und die Gleichung (7) lautet einfacher

$n(n+1)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}S_{0}\sin \theta d\theta$ $=-S_{0}\int _{0}^{\pi }{\frac {d\theta }{\sin \theta }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi -S_{o}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}d\theta .\,$

Hier lässt auf der rechten Seite an beiden Stellen die innere Integration sich ausführen. Man erhält

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi =\left({\frac {\partial Q_{n}}{\partial \varphi }}\right)_{2\pi }-\left({\frac {\partial Q_{n}}{\partial \varphi }}\right)_{0}=0,$ $\int _{0}^{\pi }{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}d\theta =\left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)_{\pi }-\left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)_{0}=0.$

Folglich gilt die Gleichung (11) allgemein für $m\gtrless n\,$, auch wenn der kleinere Index Null sein sollte.

 Denken wir uns den Fall, dass eine und dieselbe Function in doppelter Weise nach Kugelfunctionen sich entwickeln lasse, so würde man durch Gleichsetzung der beiden Entwicklungen erhalten:

(12)	$Q_{0}+Q_{1}+Q_{2}+\ldots +Q_{n}+\ldots =S_{0}+S_{1}+S_{2}+\ldots +S_{n}+\ldots \,$

Setzt man $Q_{n}-S_{n}=T_{n}\,$, so folgt aus der Gleichung (12):

(13)	$T_{0}+T_{1}+T_{2}+\ldots +T_{n}+\ldots =0.\,$