Schwere, Elektricität und Magnetismus:363

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 349
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Die Kugelfunction $n\,$ten Ranges.

drucke (10) noch die $(2n+1)\,$ unbestimmten constanten Coefficienten auf

${\begin{aligned}g_{n0},\ &g_{n1},\ g_{n2},\ \dotsb \ g_{nm};\,\\&h_{n1},\ h_{n2},\ \dotsb \ h_{nm}.\,\\\end{aligned}}$

 Eine wichtige Bemerkung ist noch über die constante Grösse $Q_{0}\,$ zu machen. Im äusseren Raume stimmt nemlich die von dem wirklich vorhandenen Erdmagnet herrührende Potentialfunction $V^{*}\,$ überein mit der Function $V\,$, die von der fingirten Belegung der Oberfläche herrührt und in der Gleichung (6) des vorigen Paragraphen entwickelt ist. Es gilt also für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ im äusseren Raume die Gleichung

(11)	$V^{*}=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}.\,$

Nun können wir aber (wenn die bekannte Vorzeichen-Aenderung vorgenommen wird) den Satz in Anwendung bringen, der in der Gleichung (6) des §. 18 ausgesprochen ist. Hier bedeutet $r\,$ dasselbe, was dort mit $R\,$ bezeichnet ist. Wir erhalten danach

(12)	$\lim rV^{*}=-\int d\mu \,$ für $\lim r=\infty .\,$

Aus (11) berechnet sich

(13)	$\lim rV^{*}=-a^{2}Q_{0}$ für $\lim r=\infty .\,$

Zieht man die Gleichung (2) des §. 105 in Betracht, so ergibt sich aus (12) und (13), dass

(14)	$Q_{0}=0\,$

sein muss. Wir dürfen also in den Gleichungen (6), (7), (8) des vorigen Paragraphen die Summirung mit $n=1\,$ anfangen.

 Uebrigens sieht man, dass auch für die fingirte Belegung der Oberfläche

(15)	$\int \rho d\sigma =0$

ist. Denn wir haben nach dem eben citirten Satze [§. 18, (6)]

$\lim rV=-\int \rho d\sigma$ für $\lim r=\infty ,\,$

und da für jeden Punkt im äusseren Raume $V=V^{*}\,$ ist, so ergibt sich

$\int \rho d\sigma =\int d\mu =0,\,$

und damit ist die Gleichung (15) bewiesen.