Schwere, Elektricität und Magnetismus:356

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 342
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Neunter Abschnitt. §. 106.

(3)	$V=\int {\frac {\rho 'd\sigma '}{t}},\,$

und es ist

(4)	$t^{2}=a^{2}+r^{2}-2ar\cos {\gamma }.\,$

Fig. 50.

Die Integration in (3) ist über die ganze Erdoberfläche zu erstrecken. Der Winkel $\gamma \,$ wird auf der Hülfskugel vom Radius 1 gemessen durch den Bogen eines grössten Kreises. Dieser Bogen (Fig. 50) ist die dritte Seite eines sphärischen Dreiecks, dessen beide andere Seiten $\theta \,$ und $\theta '\,$ den Winkel $\varphi -\varphi '\,$ einschliessen. Folglich gilt für $\cos {\gamma }\,$ die Formel:

(5)	$\cos {\gamma }=\cos {\theta }\cos {\theta '}+\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}.\,$

Die Dichtigkeit $\rho '\,$ ist eine Function von $\theta '\,$ und $\varphi '\,$. Wir haben $\theta '\,$ variabel von $0\,$ bis $\pi \,$ und $\varphi '\,$ variabel von $0\,$ bis $2\pi \,$ zu nehmen. Die Function

(6)	$\rho '=f(\theta ',\varphi ')\,$

ist nun freilich a priori nicht bekannt. Folglich geben uns die Gleichungen (3) und (4) auch nicht ohne weiteres die Werthe von $V\,$ im ganzen unendlichen Raume. Sie machen uns aber darauf aufmerksam, dass $V\,$ sich nach ganzen Potenzen von $r\,$ entwickeln lässt. Die Coefficienten der Entwicklung sind Functionen von $\theta \,$ und $\varphi \,$, deren Form wir aus den Bedingungen zu bestimmen haben, dass $V\,$ im äusseren Raume sowohl wie im Innern der Erdkugel der Gleichung von Laplace Genüge leisten muss und beim Durchgange durch die Erdoberfläche nicht unstetig werden darf [§. 79 (1), §. 80 (1) und (2)]. Ist hiernach die Entwicklung von $V\,$ vollständig durchgeführt, so treten darin unendlich viele constante Coefficienten auf, die vorläufig unbestimmt sind. Sie erhalten dadurch bestimmte Werthe, dass die so entwickelte Function $V\,$ an jeder Stelle der Erdoberfläche mit der dort gegebenen Potentialfunction $V^{*}\,$ übereinstimmen soll.