Schwere, Elektricität und Magnetismus:354

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 340
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Neunter Abschnitt. §. 106.

die Potentialfunction $V^{*}\,$ in jedem Punkte der Erdoberfläche bekannt. Diesen Satz hat Gauss aufgestellt im Artikel 15 seiner Abhandlung: allgemeine Theorie des Erdmagnetismus.^[1]

 Die Voraussetzung, dass die Function $V^{*}\,$ in jedem Punkte der Oberfläche gegeben sei, bildet das Fundament der weiteren Untersuchung.

§. 106. Fingirte magnetische Belegung der Erdoberfläche.

 Wenn die Potentialfunction $V^{*}\,$ an jeder Stelle der Erdoberfläche gegeben ist, so lässt sie sich, wie in den §§. 21 und 34 gezeigt worden, immer in einer und nur in einer Weise in den äusseren Raum hinein fortsetzen, so dass sie in diesem äusseren Raume überall endlich und stetig variabel ist, dass sie in unendlicher Entfernung den Werth Null hat, und dass an jeder Stelle des äusseren Raumes die partielle Differentialgleichung

(1)	${\frac {\partial ^{2}V^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V^{*}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V^{*}}{\partial z^{2}}}=0$

erfüllt wird. Man hat als Begrenzung des Raumes $T\,$ (§. 21) die Erdoberfläche und eine concentrische Kugelfläche von unendlich grossem Radius zu nehmen. Diese Polentialfunction entspricht der Voraussetzung, dass im äusseren Raume keine magnetischen Massen vorhanden sind.

 Im §. 79 ist nachgewiesen, dass man die Function $V^{*}\,$, ausgehend von den Werthen in der Erdoberfläche, in unendlich mannichfaltiger Weise ins Innere stetig fortsetzen kann. Jede solche Fortsetzung liefert dann für einen inneren Punkt im allgemeinen einen anderen Werth des Ausdruckes

${\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\partial ^{2}V^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V^{*}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V^{*}}{\partial z^{2}}}\right).$

Folglich gibt es unendlich viele verschiedene Vertheilungen von magnetischen Massen im Innern der Erde, welche sämmtlich dieselbe magnetische Wirkung an der Oberfläche und im äusseren Raume ausüben, nemlich die Wirkung, welche aus der in der Oberfläche gegebenen Potentialfunction $V^{*}\,$ und ihrer eindeutigen Fortsetzung im äusseren Raume sich berechnet.

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1. *) Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1838. Herausgegeben, von Gauss und Weber. Leipzig 1839. — Gauss’ Werke. Band 5. Göttingen 1867.