Schwere, Elektricität und Magnetismus:301

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 287
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Aufgabe des §.81 für einen mehrfach zusammenhangenden Körper.

würde er dadurch in zwei getrennte Stücke zerfallen. Der gegebene Körper und der äussere Raum sind also beide $(m-n+2)\,$-fach zusammenhangend.

 Aus dem Gange des Beweises ersieht man zugleich, dass der gegebene Körper in mannichfaltiger Weise in einen einfach zusammenhangenden zerlegt werden kann. Die Anzahl der Querschnitte ist aber bei allen Zerlegungen dieselbe.

 Nach dieser Einschaltung kehren wir zu der Untersuchung des §. 81 zurück.

§. 84. Die Aufgabe des §. 81 für einen mehrfach zusammenhangenden Körper.

 Die Aufgabe des §. 81 soll jetzt unter der Voraussetzung behandelt werden, dass der gegebene Körper $(q+1)\,$ fach zusammenhangend ist.

 Wir zerlegen zunächst den äusseren Raum durch $q\,$ Querschnittsflächen $S_{1},S_{2},\ldots S_{q}\,$ in einen einfach zusammenhangenden und setzen fest, dass alle Verschiebungen, die mit einem Punkte $(x,y,z)\,$ im äusseren Raume vorgenommen werden, völlig innerhalb dieses einfach zusammenhangenden Raumes liegen sollen, d. h. dass keine Verschiebung durch die Oberfläche des gegebenen Körpers oder durch irgend eine der Querschnittsflächen $S_{1},S_{2},\ldots S_{q}\,$ schneidend hindurchgehen darf. Nach §. 79 (4) ist

$X\;dx+Y\;dy+Z\;dz=dV$

an jeder Stelle des äusseren Raumes ein vollständiges Differential. Erstreckt man also das Integral

(1)	$V=\int (X\;dx+Y\;dy+Z\;dz)$

aus unendlicher Entfernung nach dem im äusseren Raume gelegenen Punkte $(x,y,z)\,$, so ist der Werth desselben unabhängig von dem Integrationswege, wenn nur dieser Weg seiner ganzen Erstreckung nach in dem einfach zusammenhangenden äusseren Raume liegt. Die Function $V\,$ ist demnach innerhalb des genannten Raumes eine einwerthige, überall endliche Function des Ortes, deren Werthe bei jeder zulässigen stetigen Verschiebung des Punktes $(x,y,z)\,$ sich stetig ändert.

 Für zwei Punkte, die einander unendlich nahe auf entgegengesetzten Seiten irgend eines der Querschnitte $S\,$ liegen, hat die