Schwere, Elektricität und Magnetismus:279

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 265
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Magnetische Wirkung des Stromelementes.

$={\frac {ds}{r}}\,{\frac {\delta x}{r}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(x,\,p)$

ist. Dieses Product hat nun aber dasselbe Vorzeichen wie $\cos(x,\,p)$. Folglich ist für Fig. 39 das Product positiv oder negativ, je nachdem das dadurch ausgedrückte Flächenelement in die Umschliessung eintritt oder aus ihr heraustritt. Und die entgegengesetzten Zeichen ergeben sich bei Fig. 40. Man bringt also in jedem Falle das betreffende Element richtig in Rechnung, wenn man das Product selbst nimmt mit dem ihm eigenen Vorzeichen. Folglich ergibt sich

(1)	$\delta V'=\delta x\cdot J\int \,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(x,\,p)$

und

(2)	$X=J\int \,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(x,\,p).$

Hier sind $\delta x\!$ und $J\!$ absolut zu nehmen. Aus der Gleichung (2) können wir auf die Kraftcomponente schliessen, mit welcher ein einzelnes Stromelement $ds\!$ die im Punkte $(x',\,y',\,z')$ concentrirte positive Einheit der magnetischen Masse in der Richtung der wachsenden $x\!$ in Angriff nimmt. Diese Kraftcomponente in der Richtung der wachsenden $x\!$ ist nemlich

$J\,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(x,\,p).$

In derselben Weise finden sich die Kraftcomponenten in der Richtung der wachsenden $y\!$ und resp. der wachsenden $z\!$:

$J\,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(y,\,p),$

$J\,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(z,\,p).$

Daraus geht hervor, dass die Gesammtkraft, welche das Stromelement $ds\!$ auf den Punkt $(x',\,y',\,z')$ ausübt, in die Richtung von $p\!$ fällt, d. h. in die positive Normale der Ebene, welche durch das Stromelement $ds\!$ und den Punkt $(x',\,y',\,z')$ festgelegt wird. Die Grösse dieser Kraft ist

(3)	$J\,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds).$