Schwere, Elektricität und Magnetismus:240

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 226
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Fünfter Abschnitt. §. 58.

einer Unstetigkeitsfläche aus nach beiden Seiten die Normale gezogen und darauf ein Abstand $p\!$ nach der einen Seite hin positiv, nach der anderen Seite negativ gerechnet. Dann ist noch auszudrücken, dass für zwei Punkte dieser Normale, die auf verschiedenen Seiten der Fläche unendlich nahe am Punkte $(x,\,y,\,z)$ liegen, die specifische Stromintensität in der Richtung der wachsenden $x\!$ dieselbe ist. Oder mit anderen Worten: dass an jeder Stelle der Unstetigkeitsfläche in den Raum auf der positiven Seite in jedem Zeitelement eben so viel Elektricität einströmt, als aus dem Raume auf der negativen Seite ausströmt. Dies spricht sich aus in der Gleichung:

(3)

$\left\lbrace k(\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right){\frac {\partial x}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right){\frac {\partial y}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial p}}\right\rbrace _{p=-0}$ $=\left\lbrace k(\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right){\frac {\partial x}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right){\frac {\partial y}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial p}}\right\rbrace _{p=+0}$

 Die Gleichung (3) gilt für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ der Unstetigkeitsflächen im Innern des Leiters.

§. 58. Eindeutige Existenz von $V\,$.

 Es soll nun bewiesen werden, dass immer eine Function $V\!$ existirt, welche den Bedingungen (1), (2), (3) des vorigen Paragraphen Genüge leistet und zu beiden Seiten jeder Unstetigkeitsfläche Werthe von gegebener Differenz besitzt. Um diesen Beweis zu führen, schliessen wir von dem Raume, welchen der Leiter ausfüllt, solche Räume von unendlich kleiner Dicke aus, welche die Unstetigkeitsflächen in sich fassen. Wie dies gemacht wird, ist in §. 21 auseinandergesetzt und durch Figur 12 erläutert. Der übrig bleibende Raum des Leiters soll mit $S\!$ bezeichnet werden. In seinem Innern sind $\Xi ,\,\mathrm {H} ,\,\mathrm {Z} ,\,k$ überall endlich und frei von Unstetigkeiten. Unter $v\!$ werde irgend eine Function von $x,\,y,\,z$ verstanden, die den folgenden beiden Bedingungen genügt. Für je zwei Punkte, die unendlich nahe an einander auf entgegengesetzten Seiten einer Unstetigkeitsfläche liegen, sollen die Werthe von $v\!$ eine gegebene endliche Differenz besitzen, und im Innern des Raumes $S\!$ sollen die ersten Derivirten von $v\!$ überall endlich und stetig variabel sein.