Schwere, Elektricität und Magnetismus:233

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 219
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Specifische Stromintensität.

 Wir wollen nun eine Richtung aufsuchen, in welcher die specifische Stromintensität $i\,$ durch die Gleichung ausgedrückt wird:

(8)	$i={\sqrt {i_{1}^{2}+i_{2}^{2}+i_{3}^{2}.}}$

Sind $a,\,b,\,c\,$ die Winkel, welche diese Richtung mit den Coordinatenaxen einschliesst, so ergeben sich zu ihrer Bestimmung die Gleichungen:

(9)	$\cos a={\frac {i_{1}}{i}},\quad \cos b={\frac {i_{2}}{i}},\quad \cos c={\frac {i_{3}}{i}}.$

Denn durch diese Werthe geht die Gleichung (7) in (8) über, wenn $\alpha =a,\ \beta =b,\ \gamma =c$ gesetzt wird. Man kann aber auch direct von (9) zu (8) gelangen, da bekanntlich

$\cos a^{2}+\cos b^{2}+\cos c^{2}=1.\,$

 Um die Bedeutung der specifischen Stromintensität $i\,$ zu erkennen, deren Richtung durch die Gleichungen (9) festgelegt wird, führen wir die Werthe von $i_{1},i_{2},i_{3}\,$ aus (9) in (7) ein. Dadurch ergibt sich:

(10)	$i_{\alpha \beta \gamma }=i(\cos a\,\cos \alpha +\cos b\,\cos \beta +\cos c\,\cos \gamma ).$

Die Klammergrösse ist aber $\ =\cos \delta$, wenn $\delta \,$ den Winkel der beiden Richtungen $(a,\,b,\,c)$ und $(\alpha ,\,\beta ,\,\gamma )$ bezeichnet. Wir haben also kürzer:

(11)	$i_{\alpha \beta \gamma }=i\,\cos \delta .$

Speciell ergibt sich

(12)	$i_{\alpha \beta \gamma }=i\,$ für $\delta =0,\,$ $i_{\alpha \beta \gamma }=0\,$ für $\delta ={\frac {\pi }{2}}.\,$

Die durch die Gleichungen (9) festgelegte Richtung hat also die Eigenschaft, dass rechtwinklig zu ihr die specifische Stromintensität gleich Null ist, in ihr selbst aber ein Maximum. Diese Richtung ist demnach die Richtung der Strömung. Kennt man im Innern eines Leiters an irgend einer Stelle $(x,\,y,\,z)$ die specifischen Stromintensitäten in drei auf einander rechtwinkligen Richtungen, so findet sich daraus die Richtung der Strömung und die specifische Stromintensität in dieser Richtung nach demselben Gesetze, welches für die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten und für die Zusammensetzung der Kräfte gilt. Man kann dasselbe das Gesetz vom Parallelepipedon der specifischen Stromintensitäten nennen.