Schwere, Elektricität und Magnetismus:231

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 217
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Specifische Stromintensität.

vorgeschriebenen Geschwindigkeit $v\!$ in der gegebenen Richtung sich bewegen, in unendlicher Nähe des Punktes $(x,\,y,\,z)$ völlig gleichmässig vertheilt vorkommen. Nun sei zur Zeit $t\!$ das an den Punkt $(x,\,y,\,z)$ anstossende Raumelement $dS\!$ mit elektrischen Theilchen von der fraglichen Geschwindigkeit erfüllt, deren Elektricitätsmenge die algebraische Summe $\sum \varepsilon$ habe. Dann sieht man, dass

(2)	$\pm \,{\frac {\sum \,\varepsilon \,\omega \,{\frac {dx}{dt}}\,dt}{dS}}=\pm \,{\frac {\omega \,dt\,\sum \,\varepsilon \,{\frac {dx}{dt}}}{dS}}\,$

die algebraische Summe der Elektricitätsmenge derjenigen Theilchen ist, welche mit der vorgeschriebenen Geschwindigkeit behaftet den Cylinder zur Zeit $t+dt\!$ erfüllen. Diese und nur diese sind es aber, die während des vorhergehenden Zeitelementes $dt\!$ in der vorgeschriebenen Richtung die Basisfläche $\omega \!$ des Cylinders mit der Geschwindigkeit $v\!$ durchschritten haben.

 Wiederholt man diese Betrachtung für jede Richtung und jede Geschwindigkeit, so sind alle elektrischen Theilchen berücksichtigt, welche nach Ablauf der Zeit $t\!$ in dem nächstfolgenden Zeitelement $dt\!$ überhaupt durch das Flächenelement $\omega \!$ hindurchgehen. Man erhält dann so viel Ausdrücke von der Form (2), als Geschwindigkeiten nach Grösse und Richtung verschieden vorkommen. Diese Ausdrücke lassen sich in zwei Gruppen zusammenfassen, je nachdem ${\frac {dx}{dt}}$ positiv oder negativ ist. Für die erste Gruppe gibt der Ausdruck

(3)	${\frac {\omega \,dt\,\sum \,\varepsilon \,{\frac {dx}{dt}}}{dS}}\,$

die algebraische Summe der Elektricitätsmengen, welche während des betrachteten Zeitelementes $dt\!$ von der negativen auf die positive Seite von $\omega \!$ übergehen. Man hat dann aber in (3) die Summirung über alle elektrischen Theilchen zu erstrecken, welche mit positiver Geschwindigkeits-Componente ${\frac {dx}{dt}}$ behaftet in dem Raumelement $dS\!$ vorkommen. Ebenso erhält man für die zweite Gruppe

(4)	$-{\frac {\omega \,dt\,\sum \,\varepsilon \,{\frac {dx}{dt}}}{dS}}\,$