Schwere, Elektricität und Magnetismus:201

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 187
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Bewegung der Leiter. Das elektrostatische Potential.

schen Theilchen eine andere. Mit der Bewegung der Leiter ist also eine fortwährende Aenderung in der Vertheilung der Elektricität auf den Leiter-Oberflächen verbunden. Diese geht aber so rasch vor sich, dass man in jedem einzelnen Augenblicke der Bewegung der ponderabeln Leiter das Gleichgewicht der Elektricität als hergestellt ansehen kann.

 Die elektrischen Theilchen $\varepsilon _{\mu }\!$ und $\varepsilon _{\nu }\!$, die wir in zwei um die Strecke $r\!$ von einander entfernten Punkten concentrirt denken, üben auf einander eine abstossende Kraft

${\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r^{2}}}.\,$

Das Potential dieser beiden Theilchen ist also

$F(r)=\int {\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r^{2}}}\,dr=-{\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r}},\,$

und das Gesammtpotential der elektrischen Massen ist

(1)	$P=-\sum \,{\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r}},\,$

wobei die Summirung sich auf alle Combinationen von je zwei elektrischen Theilchen bezieht. Die Formel (1) setzt voraus, dass die Elektricitäten in einzelnen discreten Punkten concentrirt sind. Bei einer stetigen Vertheilung über die Oberflächen der Leiter und über den Raum der Nichtleiter tritt eine Integration an die Stelle der Summirung. Wir bezeichnen mit $d\varepsilon \!$ die Elektricitätsmenge, welche in einem Raum-, resp. in einem Flächen-Elemente sich befindet. Dann ist

(2)	$P=-\int \,{\frac {d\varepsilon \cdot d\varepsilon '}{r}},\,$

und die Integration ist nun auszudehnen über alle Combinationen von je zwei elektrischen Theilchen $d\varepsilon \!$ und $d\varepsilon '\!$. Dafür lässt sich auch schreiben

(3)	$P=-{\frac {1}{2}}\,\int \,d\varepsilon \,\,\int \,{\frac {d\varepsilon '}{r}},\,$

wobei jede der beiden Integrationen über alle elektrischen Theilchen zu erstrecken ist. Bei dieser Art, die Integration auszuführen, kommt jede Combination von zwei Theilchen doppelt vor. Da sie aber nur einmal genommen werden soll, so ist der Factor