Schwere, Elektricität und Magnetismus:175

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 161
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Princip des Lagrange.

man nun zwei Uebergänge mit einander, bei denen die Wege, die jeder einzelne Punkt durchläuft, nur unendlich wenig von einander abweichen, so sind auch die Werthe des Integrals (4) für den einen und für den anderen Uebergang nur unendlich wenig von einander verschieden. Die Aenderung, welche dem Integralwerth für den ersten Uebergang zu ertheilen ist, damit der Integralwerth für den zweiten Uebergang herauskomme, wird die Variation des Integrals (4) genannt.

 Die Gleichung (3) sagt aus, dass von allen denkbaren Uebergängen aus der gegebenen Anfangslage in die gegebene Endlage in Wirklichkeit derjenige zu Stande kommt, für welchen die Variation des Integrals (4) gleich Null ist.

 Um zu beweisen, dass dieser Satz nichts anderes ist als das Princip des Lagrange, führen wir die Variation wirklich aus.

 Es ist zunächst

$T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}\left\lbrace \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz_{i}}{dt}}\right)^{2}\right\rbrace ,$

also findet sich

$\delta T=\sum m_{i}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace$

und in Folge davon

${\begin{aligned}\delta \int \limits _{0}^{t}T\;dt&=\int \limits _{0}^{t}\sum m_{i}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace dt\\&=\sum m_{i}\int \limits _{0}^{t}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace dt.\\\end{aligned}}$

 Den Ausdruck

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}dt$

wollen wir durch Integration nach Theilen umformen. Dadurch ergibt sich

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}dt=\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)_{t}-\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)_{t=0}-\int \limits _{0}^{t}\delta x_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}dt.$

Für die Anfangslage $(t=0)\!$ und für die Endlage (nach Ablauf der Zeit $t\!$) ist aber $\delta x_{i}=0,\!$ also fällt der vom Integralzeichen