Schwere, Elektricität und Magnetismus:166

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Dritter Abschnitt.

Hülfssätze aus der Mechanik.

§. 36. Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft für einen materiellen Punkt.

 Um nicht allein die Kräfte, sondern auch die durch sie hervorgebrachten Bewegungen untersuchen zu können, ist es nöthig, an einige Sätze der Dynamik zu erinnern.

 Wir betrachten einen materiellen Punkt von der Masse $m\!$. Seine Coordinaten $x,\,y,\,z$ sind Functionen der Zeit $t\!$, und die Aufgabe der Dynamik besteht darin, diese Functionen ausfindig zu machen, wenn zu jeder Zeit die bewegende Kraft $K\!$ gegeben ist. Zur Lösung dieser Aufgabe sind Integrationen auszuführen. Den dabei auftretenden Integrations-Constanten hat man dann Specialwerthe beizulegen, so dass gewisse Nebenbedingungen des Problems erfüllt werden. Als solche Nebenbedingungen können z. B. gegeben sein die Anfangslage und die Anfangsgeschwindigkeit des bewegten materiellen Punktes, oder auch seine Anfangs- und seine Endlage.

 Die bewegende Kraft, welche auf den materiellen Punkt wirkt, sei $K\!$. Ihre Componenten in den Richtungen der positiven Coordinatenaxen bezeichnen wir resp. mit $X,\,Y,\,Z$. Dann haben wir die Differentialgleichungen

(1)	$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=X,$ $m{\frac {dy}{dt^{2}}}=Y,$ $m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=Z.$

In diesen Gleichungen multipliciren wir auf beiden Seiten der Reihe nach mit ${\frac {dx}{dt}}dt,\,{\frac {dy}{dt}}dt,\,{\frac {dz}{dt}}dt$, verbinden die Resultate