Schwere, Elektricität und Magnetismus:148

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 31.

gezählt werden, schliessen den sphärischen Winkel $\varphi -\varphi '\!$ ein. Folglich haben wir

(17)	$\cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ').$

 Wenn die Wahl des Coordinatensystems freisteht, so dient es zur Vereinfachung, die $z\!$Axe des rechtwinkligen Systems (und folglich auch die Polaraxe des Kugelcoordinaten-Systems) durch den Unstetigkeitspunkt zu legen. Dann ist $x'=0,\,y'=0,\,z'=r',\!$ ferner $\theta '=0,\,\varphi '\!$ beliebig und folglich $\gamma =\theta \!$. Die Gleichung (15) geht dadurch über in

(18)	${\begin{aligned}U=&{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2\;r\;r'\cos \theta }}}\\&-{\frac {a}{r'}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)^{2}-2\;r\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)\cos \theta }}}.\\\end{aligned}}$

 Aus der Gleichung (15) kann man noch die mechanische Bedeutung der Function $U\!$ herauslesen. Es ist $U\!$ die Potentialfunction für den Fall, dass im Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ die Masse $1\!$, in seinem Bildpunkte $({\frac {a^{2}}{r'}},\,\theta ',\,\varphi ')$ die Masse $-{\frac {a}{r'}}$ concentrirt ist.

 Uebrigens kann auch der Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ ausserhalb der Kugel liegen. Dann ist sein Bildpunkt $({\frac {a^{2}}{r'}},\,\theta ',\,\varphi ')$ ein innerer Punkt. Der Ausdruck für $U\!$ wird derselbe wie in Gleichung (15).

 Versteht man unter $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ einen Punkt ausserhalb der Kugel, so ist $U\!$ die Hülfsfunction, welche dazu dient, die Function $V\!$ für den äusseren Raum herzustellen. Denn in der That genügt diese Function $U\!$ im ganzen äusseren Raume der partiellen Differentialgleichung (1). Sie hat den Werth Null in der Begrenzung des äusseren Raumes, d. h. in der Oberfläche der Kugel vom Radius $a\!$ und in einer Kugelfläche von unendlich grossem Radius. Sie ist im ganzen äusseren Räume endlich und stetig variabel, ausser im Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$, wo sie in vorgeschriebener Weise unendlich wird.

§. 31. Fortsetzung: Die Masse ist nur in der Oberfläche ausgebreitet, $V\!$ in der Oberfläche gegeben.

 Wir wollen speciell voraussetzen, dass im Innern der Kugel und in dem ganzen äusseren Räume keine anziehende Masse vor-