Schwere, Elektricität und Magnetismus:113

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 99
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Anziehung eines Ellipsoids.

oder, was dasselbe ist:

${\frac {x}{a^{2}+\sigma }}\,\xi +{\frac {y}{b^{2}+\sigma }}\,\eta +{\frac {z}{c^{2}+\sigma }}\,\zeta -1=0.\,$

Bringt man diese Gleichung in die Normalform, so erhält man

$\xi \,\cos \alpha +\eta \,\cos \beta +\zeta \,\cos \gamma -{\frac {1}{\sqrt {l}}}=0.\,$

Darin ist ${\frac {1}{\sqrt {l}}}\,$ die Länge des Perpendikels, welches vom Anfangspunkte der Coordinaten auf die Tangentialebene gefällt ist, und $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sind die Winkel, welche dies Perpendikel (in der Richtung vom Anfangspunkte nach der Ebene) mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst. Für die Cosinus dieser Winkel erhält man die Ausdrücke:

(9)	$\cos \alpha ={\frac {x}{a^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}},$ $\cos \beta ={\frac {y}{b^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}},$ $\cos \gamma ={\frac {z}{c^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}}.$

 Dieselbe Richtung, wie das eben betrachtete Perpendikel, hat die im Punkte $(x,\,y,\,z)$ nach aussen gezogene Normale der Fläche (3). Vergleicht man nun die Ausdrücke (8) und (9), so ergibt sich ohne weiteres, dass die Richtung von $\mathrm {P} \,$ durch die vom Punkte $(x,\,y,\,z)$ aus nach innen gezogene Normale der Hülfs-Ellipsoidfläche (3) angegeben wird.

 D. h. wir haben den Satz:

 Wenn die Masse von constanter Dichtigkeit eine Schale von unendlich kleiner Dicke bildet, begrenzt von zwei ähnlichen, concentrischen Ellipsoidflächen mit gleichgerichteten Hauptaxen, so übt sie auf einen Punkt im äusseren Raume eine anziehende Kraft aus. Die Richtung derselben fällt in die von diesem Punkte aus nach innen gezogene Normale einer Ellipsoidfläche, welche den angezogenen Punkt in sich enthält und der äusseren Begrenzungsfläche der Schale confocal ist. Dies gilt